Giáo án ôn tập Toán 7 (Cánh diều) - Chương IX: Quan hệ giữa các yếu tố trong một tam giác

CHƯƠNG IX. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG MỘT TAM GIÁC.
Bài 1. QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC.
A. LÝ THUYẾT.
1) Góc đối diện với cạnh trong một tam giác.
Ví dụ 1: Cho , khi đó góc gọi là đối diện với cạnh ( Hình 
Ví dụ 2: Cho có ( Hình 
Cạnh đối diện với , cạnh đối diện với 
Nhận thấy rằng 
Kết luận:
Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Chú ý:
Trong tam giác vuông, góc vuông là góc lớn nhất, nên cạnh huyền là cạnh lớn nhất.
Trong tam giác tù, góc tù là góc lớn nhất.
B. LUYỆN TẬP.
Bài 1: Cho Hình 
Tính 
So sánh ba cạnh 
Bài 2: Cho Hình 
Tính 
So sánh ba cạnh 
Bài 3: Cho Hình 
Góc là góc gì?
So sánh và 
Bài 4: Cho Hình 
Tính 
So sánh và 
Bài 5: Cho Hình So sánh và 
Bài 6: Cho Hình 
So sánh với 
So sánh với 
Bài 7: Cho Hình So sánh và 
Bài 8: Cho Hình So sánh và cạnh 
Bài 9: Cho vuông tại điểm nằm giữa và 
So sánh và ( Hình 
Bài 10: Cho có , điểm nằm giữa và 
Chứng minh . ( Hình 
Bài 11: Cho có là góc tù.
Trên cạnh lấy ( Hình 
So sánh 
Trên cạnh lấy điểm So sánh và 
Bài 12: Cho vuông tại tia phân giác của 
cắt ở So sánh và ( Hình 
( Gợi ý: Lấy điểm E trên BC sao cho )
Bài 13: Cho có . Gọi là trung
điểm của So sánh và . ( Hình 
( Gợi ý: Lấy điểm D sao cho M là trung điểm của AD).
Bài 14: Cho Lấy trên cạnh Từ kẻ
 Chứng minh 
( Hình 
Bài 15: Cho có . Tia phân giác 
cắt tại Tia phân giác cắt tại Hai tia phân
giác này cắt nhau tại So sánh:
 và ( Hình 
 và .
Bài 16: Cho nhọn, nằm giữa và sao cho không vuông góc với 
Gọi và là chân đường vuông góc từ đến ( Hình 
So sánh với 
So sánh với 
Bài 2. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN
A. LÝ THUYẾT.
1) Khái niệm về đường vuông góc và đường xiên.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng và điểm Từ kẻ 
Khi đó gọi là đường vuông góc kẻ từ đến đường thẳng ( Hình 
Lấy điểm sao cho 
Khi đó gọi là đường xiên kẻ từ đến đường thẳng 
Nhận thấy rằng vuông tại nên là góc lớn nhất.
Khi đó 
Kết luận:
Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Vì là độ dài ngắn nhất đi từ đến nên còn gọi là khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Cho Hình 
Chỉ ra đâu là đường vuông góc, đâu là đường xiên.
So sánh và .
Bài 2: Cho Hình Biết 
Chỉ ra các đường vuông góc, đường xiên.
So sánh với và với .
Bài 3: Cho Hình 
Xác định khoảng cách từ đến 
Xác định khoẳng cách từ đến 
Bài 4: Cho Hình 
Chỉ ra khoảng cách từ đến 
So sánh các đường xiên và 
Bài 5: Cho Hình 
Chỉ ra các đường vuông góc.
Chứng minh 
So sánh với 
Bài 6: Cho Hình 
So sánh với 
Bài 7: Cho cân tại là trung điểm của . ( Hình 
Chứng minh là đường vuông góc kẻ từ đến 
Chứng minh khoảng cách từ đến hai cạnh bằng nhau.
Bài 8: Cho . lần lượt là trung điểm của 
Vẽ và Biết 
Chứng minh ( Hình 
Chứng minh khoảng cách từ và đến là bằng nhau.
Bài 9: Cho cân tại là trung điểm của Trên lấy hai điểm sao cho ( Hình 
Chứng minh 
Chứng minh khoảng cách từ tới là bằng nhau.
Bài 3. QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH TRONG MỘT TAM GIÁC.
A. LÝ THUYẾT.
a) Bất đẳng thức trong tam giác.
Ví dụ 1: Vẽ biết 
Nhận thấy rằng ta không thể vẽ được 
Nhận xét, giả sử biết 
Khi đó điểm nằm trên cạnh 
Kết luận:
Trong một tam giác , độ dài một cạnh bất kì luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.
Cụ thể: ( Hình thì 
Ngược lại, trong một tam giác độ dài một cạnh bất kì luôn
lớn hơn hiệu hai cạnh còn lại.
Cụ thể: thì 
Để kiểm tra độ dài ba đoạn thẳng có là ba cạnh của một tam giác
hay không ta chỉ cần kiểm tra cạnh lớn nhất với tổng hai cạnh
còn lại.
Với ba điểm ta luôn có 
B. LUYỆN TẬP.
Bài 1: Hãy kiểm tra xem độ dài ba đoạn thẳng sau có là 3 cạnh của một tam giác hay không?
 	b) 	c) .
Bài 2: Hãy kiểm tra xem độ dài ba đoạn thẳng sau có là 3 cạnh của một tam giác hay không?
	b) 	c) 
Bài 3: Cho cân. Tính chu vi biết .
Bài 4: Cho cân. Tính chu vi biết .
Bài 5: Cho cân. Tính chu vi biết 
Bài 6: Tính chua vi của biết và là một số nguyên.
Bài 7: Cho , trong đó là cạnh lớn nhất. Gọi là đường vuông góc kẻ từ đến ( Hình 
So sánh với .
Chứng minh .
 Bài 8: Cho có là cạnh lớn nhất.
Vẽ đường cao ( Hình 
Vì sao không thể là góc tù hoặc vuông.
Chứng minh .
Bài 9: Cho vuông tại Vẽ tia phân
giác Từ vẽ .
Chứng minh . ( Hình 
Gọi cắt tại . 
Chứng minh rồi suy ra .
Bài 10: Cho Điểm nằm giữa và 
Chứng minh ( Hình 
Bài 11: Cho Gọi là một điểm bất kì nằm trong 
Chứng minh rằng ( Hình 
Bài 4. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN,
BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG MỘT TAM GIÁC.
A. LÝ THUYẾT.
1) Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong tam giác.
Ví dụ 1: Cho , là trung điểm của 
Khi đó đoạn thẳng gọi là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh 
hoặc đường trung tuyến ứng với cạnh ( Hình 
Đường thẳng cũng được gọi là đường trung tuyến của 
Kết luận:
Đường trung tuyến của một tam giác là đường thẳng đi qua đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện.
Trong một tam giác có ba đường trung tuyến.
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm, điểm này cách mỗi đỉnh bằng độ dài đường trung tuyến ấy. ( Hình 
Cụ thể: 
Điểm gọi là trọng tâm của 
Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong một tam giác vuông
bằng một nửa cạnh huyền. ( Hình 
Cụ thể: 
Trong tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai
cạnh bên bằng nhau. ( Hình 
Cụ thể: cân tại 
Và ngược lại nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau
Thì tam giác đó là tam giác cân.
Trong tam giác đều, ba đường trùng tuyến bằng nhau.
2) Sự đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác.
Ví dụ 2: Cho tia phân giác cắt tại 
Khi đó đoạn thẳng gọi là đường phân giác xuất phát từ đỉnh của 
Đường thẳng cũng gọi là đường phân giác của ( Hình 
Kết luận:
Trong một tam giác có ba đường phân giác.
Ba đường phân giác của một tam giác cùng
cắt nhau tại một điểm, điểm này cách đều ba
cạnh của tam giác đó. ( Hình 
Cụ thể: 
Trong tam giác cân, hai đường phân giác xuất phát từ hai cạnh đáy bằng nhau
và ngược lại nếu một tam giác có hai đường phân giác bằng nhau thì đó là
tam giác cân. ( Hình 
Cụ thể: có hai đường trung tuyến 
và cân tại 
Một tam giác có một đường phân giác cũng là đường trung tuyến
Thì tam giác ấy là tam giác cân. ( Hình 
Cụ thể: có là tia phân giác cũng là trung tuyến
 cân tại 
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Cho Hình 
Chỉ ra các đường trung tuyến. 
Bài 2: Cho Hình 
Chỉ ra các đường trung tuyến.
Bài 3: Cho Hình 
Chỉ ra các đường trung tuyến. 
 là tam giác gì?
Bài 4: Cho Hình 
Chỉ ra các đường phân giác.
 là đường gì của 
Bài 5: Cho Hình biết 
Chỉ ra các đường phân giác.
Tính 
Bài 6: Cho Hình 
Chỉ ra các đường phân giác.
Chỉ ra các cạnh bằng nhau.
Bài 7: Cho Hình Biết đều
Chỉ ra các đường phân giác.
Tính 
Bài 8: Cho vuông tại có 
Tính khoảng cách từ đến trọng tâm của tam giác.
( Hình 
Bài 9: Cho cân tại có hai đường trung tuyến và 
Chứng minh ( Hình 
Chứng minh 
Bài 10: Cho cân tại kẻ 
Chứng minh . ( Hình 
Tính số đo hai góc .
 là trung điểm của 
Biết . Tính 
Bài 11: Cho vuông tại là trung điểm của trên tia đối của tia lấy sao cho . ( Hình 
Chứng minh 
Gọi là trung điểm của cắt tại cắt tại 
Chứng minh 
Chứng minh cân.
Bài 12: Cho , đường trung tuyến trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Gọi theo thứ tự là trung điểm của và Gọi theo thứ tự là giao điểm của với Chứng minh . ( Hình 
Bài 13: Cho cân tại đường cao Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . ( Hình 
Chứng minh là trọng tâm của .
Tia cắt tại Chứng minh 
Bài 14: Cho vuông tại Trên tia đối của tia lấy điểm 
sao cho là trung điểm của ( Hình 
Chứng minh .
Vẽ đường trung tuyến của cắt cạnh tại 
Chứng minh là trọng tâm của và tính độ dài 
Từ vẽ đường thẳng song song với đường thẳng này
cắt tại Chứng minh thẳng hàng.
Bài 15: Cho có Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . 
Chứng minh cân. ( Hình 
Gọi là trung điểm của cạnh Đường thẳng cắt tại 
Tính 
Từ trung điểm của đoạn kẻ đường thẳng vuông góc
với cắt tại Chứng minh thẳng hàng.
Bài 16: Cho vuông tại tia phân giác 
cắt tại Kẻ vuông góc với 
Gọi là giao điểm của tia và tia 
Chứng minh ( Hình 
Chứng minh cân.
 cắt tại Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Vẽ điểm nằm trên đoạn sao cho . Chứng minh và thẳng hàng.
Bài 17: Cho cân tại có cạnh là cạnh lớn nhất, các đường trung tuyến và của cắt nhau tại Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho là trung điểm của ( Hình 
Chứng minh . Từ đó chứng minh 
Chứng minh .
Chứng minh .
Bài 18: Cho có . Trên cạnh lấy điểm sao cho . Tia phân giác của cắt tại ( Hình 
Chứng minh . Từ đó suy ra .
Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho là trung điểm của Chứng minh
Kéo dài cắt cạnh tại và cắt tại Chứng minh thẳng hàng.
Bài 19: Cho vuông tại có , kẻ đường phân giác của . Kẻ vuông góc với tại ( Hình 
Chứng minh .
Chứng minh là đường trung trực của 
Gọi là giao điểm của đường thẳng và đường thẳng 
đường thẳng cắt tại 
Chứng minh và cân tại 
Bài 20: Cho cân tại Qua điểm kẻ đường thẳng song song với Các đường phân giác góc và góc lần lượt cắt đường thẳng tại và Chứng minh: ( Hình 
 là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh
 của .
 vuông.
Bài 21: Cho có . Kẻ đường phân giác 
từ kẻ . Chứng minh ( Hình 
 và 
Để có thì là tam giác gì?
Bài 22: Cho vuông tại biết cạnh. Tia phân giác của
góc cắt tại . Từ kẻ vuông góc với tại 
Chứng minh . ( Hình 
Chứng minh là đường trung trực của đoạn 
Kẻ .
Chứng minh là tia phân giác .
Bài 5. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC,
BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC.
A, LÝ THUYẾT.
1) Sự đồng quy của ba đường trung trực trong một tam giác.
Ví dụ 1: Cho , vẽ đường thẳng là đường trung trực của 
Khi đó đường thẳng gọi là đường trung trực của 
Kết luận:
Trong một tam giác có ba đường trung trực.
Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm.
Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.
Cụ thể: là giao điểm đường trung trực 
Nên ( Hình 
Vì các đều ba đỉnh nên là tâm đường tròn đi qua
ba đỉnh 
Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy cũng là
đường trung tuyến, phân giác.
2) Sự đồng quy của ba đường cao trong một tam giác.
Ví dụ 2: Cho , từ kẻ Khi đó gọi là đường cao
xuất phát từ đỉnh hoặc ứng với cạnh của .
Đường thẳng cũng gọi là đường cao của 
Kết luận:
Trong một tam giác có ba đường cao.
Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm, điểm
Này gọi là trực tâm của 
 là tam giác vuông thì trực tâm trùng với đỉnh vuông.
 là tam giác tù thì trực tâm nằm bên ngoài tam giác.
Trong tam giác cân, hai đường cao ứng với hai cạnh bên bằng nhau.
Trong tam giác cân thì đường cao từ đỉnh cân cũng là trung tuyến, phân giác, trung trực.
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Cho Hình Hãy chỉ ra các đường cao của 
Bài 2: Cho Hình 
Cho biết đường cao ứng với cạnh 
Chỉ ra trực tâm của 
Bài 3: Cho Hình 
Chỉ ra các đường cao của 
Chỉ ra trực tâm của 
Bài 4: Cho Hình Biết cân tại 
Chỉ ra các đường cao của 
Chỉ ra các đoạn thẳng bằng nhau.
Bài 5: Cho Hình Biết cân tại là trung tuyến.
Hỏi có thể là các đường gì của 
Bài 6: Cho có , các đường trung trực và cắt cạnh theo thứ tự ở và Tính ( Hình 
Bài 7: Cho có . Các đường trung trực và cắt nhau tại và cắt theo thứ tự tại và 
Chứng minh cân. ( Hình 
Đường tròn tâm bán kính đi qua những điểm nào trong hình vẽ.
Chứng minh là phân giác của .
Bài 8: Cho và điểm nằm trong góc đó. Ở ngoài lấy hai điểm và sao cho là đường trung trực của đoạn là trung trực của ( Hình 
Chứng minh .
Tính theo .
Nếu thì điểm nằm ở vị trí nào trên đoạn Vì sao?
Bài 9: Cho có . là điểm nằm giữa và 
Vẽ điểm sao cho là trung trực của , Điểm sao cho 
là trung trực của ( Hình 
Chứng minh trung trực của đi qua 
Chứng minh .
Tính các góc của .
 cắt lần lượt ở và 
Chứng minh là phân giác của .
Để là trung điểm của thì cần 
có thêm điều kiện gì?
Bài 10: Cho cân tại có các đường cao 
cắt nhau tại Biết . Tính các góc của . ( Hình 
Bài 11: Cho nhọn và cân tại Hai đường cao xuất phát từ đỉnh và 
cắt nhau tại Hãy tìm các góc của . Biết . ( Hình 
Bài 12: Hai đường cao và của nhọn cắt nhau ở 
Tính khi . ( Hình 
Chứng minh nếu thì cân.
Bài 13: Cho nhọn, hai đường cao và 
giặp nhau tại Vẽ điểm sao cho là trung trực
của Chứng minh . ( Hình 
Bài 14: Cho vuông tại Lấy điểm trên tia sao cho . Phân giác cắt ở cắt ở I. Trên cạnh lấy điểm sao cho . 
Chứng minh thẳng hàng. ( Hình 
Bài 15: Cho cân tại Trung tuyến , đường cao Trên tia lấy điểm sao cho . Chứng minh đồng quy. ( Hình 
Bài 16: Cho vuông tại đường cao 
Trên cạnh lấy điểm sao cho . Qua kẻ đường
thẳng vuông góc với cắt tại ( Hình 
Chứng minh .
So sánh và 
Gọi cắt tại Chứng minh cân tại 
Gọi là trung điểm của Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Bài 17: Cho vuông tại . Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . 
Chứng minh . ( Hình 
Từ kẻ vuông góc với tại kẻ 
tại Chứng minh .
Kéo dài cắt tia tại kéo dài cắt tia tại 
Gọi là trung điểm của Chứng minh thẳng hàng.
Bài 18: Cho vuông tại có . Đường 
cao Trên đoạn lấy điểm sao cho .
Chứng minh . ( Hình 
Chứng minh đều.
Từ kẻ vuông góc với Chứng minh .
Từ kẻ vuông góc với là giao điểm
của và Chứng minh thẳng hàng.
Bài 19: Cho nhọn. Vẽ tia phân giác
. Trên cạnh lấy điểm sao cho .
Chứng minh . ( Hình 
Đường thẳng và cắt nhau tại 
Chứng minh .
Qua kẻ tia và cắt tia tại Gọi là giao điểm
của và Chứng minh là trung điểm của 
Bài 20: Cho vuông tại . Vẽ đường phân giác của
. Vẽ tại ( Hình 
Chứng minh 
Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho .
Chứng minh .
Tia cắt tại Chứng minh .
Bài 21: Cho vuông tại trên tia lấy điểm 
sao cho . Phân giác của cắt tại cắt
 tại Tia cắt ở ( Hình 
Chứng minh là trung trực của và 
Chứng minh .
Nếu . Tính .
Bài 22: Cho cân tại đường cao .
Chứng minh . ( Hình 
Từ kẻ đường thẳng song song với cắt tại 
Chứng minh cân từ đó suy ra .
Gọi là trung điểm của cắt tại 
Chứng minh thẳng hàng.
Chứng minh chu vi .
Bài 23: Cho vuông tại . Kẻ là tia phân giác của 
. Trên cạnh lấy điểm sao cho . ( Hình 
Chứng minh .
So sánh và 
Đường thẳng cắt tại Gọi là trung điểm
của Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Bài 24: Cho vuông tại có Tia phân giác
góc cắt tại Kẻ tại ( Hình 
Chứng minh .
Chứng minh là trung trực của 
Gọi là giao điểm của và Chứng minh .
Chứng minh .
Bài 25: Cho cân tại Đường phân giác 
Gọi là trung điểm của cắt tại Từ 
kẻ đường thẳng song song với cắt tại ( Hình 
Chứng minh
 và .
 là trọng tâm của 
Ba điểm thẳng hàng.
Bài 26: Cho vuông tại Trên tia đối của tia lấy điểm 
sao cho là trung điểm của đoạn ( Hình 
Chứng minh cân.
Gọi là trung điểm của cạnh Đường thẳng cắt 
tại Tính 
Đường trung trực của đoạn cắt đường thẳng 
 tại Chứng minh thẳng hàng.
Bài 27: Cho vuông tại là trung điểm của ( Hình 
Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . 
Chứng minh và .
Gọi là điểm nằm trên sao cho .
Gọi là giao điểm của và , là giao điểm 
của và Chứng minh .
Bài 28: Cho cân tại Đường cao 
Chứng minh là trung điểm của và . ( Hình 
Kẻ tại và tại 
Chứng minh cân tại 
Vẽ điểm sao cho là trung điểm của đoạn 
Chứng minh là trung trực của đoạn 
 cắt tại , cắt tại 
Chứng minh đồng quy.
Bài 29: Cho cân tại Gọi là trung điểm của Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Chứng minh ( Hình 
 và 
 và là tam giác cân.
Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho .
Chứng minh đi qua trung điểm của