Giáo án ôn tập Toán 7 (Cánh diều) - Chương IV: Hai tam giác bằng nhau

CHƯƠNG IV. HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU.
Bài 1. TỔNG CÁC GÓC TRONG MỘT TAM GIÁC.
A. LÝ THUYẾT.
1) Tổng các góc trong một tam giác.
Ví dụ 1: Vẽ từ đỉnh vẽ đường thẳng 
( Hình ). 
Chứng minh rằng 
Chứng minh rằng 
Chứng minh rằng 
Vì ( so le trong).
Vì ( so le trong).
Khi đó 
Kết luận:
Tổng ba góc trong một tam giác bằng 
Tam giác có ba góc đều là góc nhọn gọi là tam giác nhọn.
Tam giác có một góc tù thì gọi là tam giác tù. 
Tam giác có một góc vuông thì gọi là tam giác vuông.
Cụ thể vuông tại khi đó cạnh gọi là cạnh huyền, hai cạnh gọi là hai cạnh góc vuông. ( Hình .
 có kề bù với góc nên gọi là góc ngoài của tam giác.
Cụ thể: có là góc ngoài thì 
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Tính số đo trong các hình sau:
Bài 2: Tìm số đo trong các hình sau:
Bài 3: Tìm số đo trong các hình sau:
Bài 4: Cho Hình Biết là tia phân giác góc 
và Chứng minh rằng 
Bài 5: Cho Hình Biết 
Chứng minh rằng 
Bài 6: Cho Hình Biết 
Tính số đo trong hình.
Bài 7: Cho vuông tại 
Kẻ ( Hình ).
Chứng minh rằng 
Bài 8: Cho có 
 là tia phân giác kẻ ( Hình ).
Tính 
Tính và 
Bài 9: Cho có 
 là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh ( Hình ).
Chứng minh rằng 
Bài 10: Cho có 
 là tia phân giác góc ngoài tại ( Hình ).
Chứng minh rằng 
Bài 11: Cho có 
 lần lượt là hai tia phân giác
của hai góc 
Tính ( Hình ).
Bài 12: Cho có 
 lần lượt là hai tia phân giác của 
Tính ( Hình ).
Bài 2. HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU
TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ NHẤT CỦA TAM GIÁC.
A. LÝ THYẾT.
1) Hai tam giác bằng nhau.
Ví dụ 1: Cho và như Hình 
Nhận thấy và có ba cạnh bằng nhau:
, , 
và ba góc bằng nhau: , , 
Nên hai và gọi là hai tam giác bằng nhau.
Khi đó cạnh và cạnh gọi là hai cạnh tương ứng và và gọi là hai góc tương ứng.
Kết luận:
Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có cạnh cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.
Kí hiệu: cần chú ý về thứ tự các đỉnh khi kí hiệu hai tam giác bằng nhau
Ví dụ 2: Cho Hình 
Chứng minh 
Chứng minh rằng 
 có 
 có 
Suy ra mà 
Xét và có:
 ( giả thiết)
 ( giả thiết) và ( chứng minh câu a) 
Vậy 
2) Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác. 
Ví dụ 1: Vẽ biết 
Vẽ cạnh 
	Vẽ cung tròn tâm bán kính 
Vẽ tiếp cung tròn tâm bán kính 
	Hai cung tròn cắt nhau tại điểm 
Nối các điểm ta được ( Hình 
Ví dụ 2: Vẽ thêm có 
Làm giống ví dụ ta được như Hình 
Cho nhận xét về và 
Kết luận:
Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác ấy bằng nhau 
Kí hiệu: 
B. BÀI TẬP.
Dạng 1. Xác định các yếu tố bằng nhau của hai tam giác
Bài 1: Cho 
Hãy chỉ ra các cạnh tương ứng bằng nhau. Các góc tương ứng bằng nhau.
Nếu thì cạnh nào cũng bằng 
Bài 2: Cho Biết 
 có góc nào cũng có số đo bằng 
Suy ra số đo cạnh nào của 
Bài 3: Cho Biết 
Cạnh bằng bao nhiêu ?
Tính chu vi của mỗi tam giác trên.
Bài 4: Cho Biết 
Tính của 
Tính số đo các góc còn lại của 
Bài 5: Cho Biết 
Tính số đo góc của 
Cho biết là tam giác gì?
Dạng 2. Chứng minh hai tam giác bằng nhau
Bài 1: Cho Hình 
Chứng minh 
Chứng minh 
Bài 2: Cho Hình 
Chứng minh 
Chứng minh 
Chứng minh 
Bài 3: Cho Hình 
Chứng minh 
Chứng minh là tia phân giác 
Bài 4: Cho Hình 
Chứng minh 
Chứng minh 
Bài 5: Cho Hình 
Chứng minh 
Chứng minh là tia phân giác 
Bài 6: Cho Hình 
Chứng minh 
Chứng minh 
Bài 7: Cho Hình 
Chứng minh 
Chứng minh 
Dạng 3. Vẽ tam giác khi biết ba cạnh
Bài 1: Vẽ biết 
Bài 2: Vẽ biết 
Bài 3: vẽ biết 
Bài 4: Vẽ biết 
Bài 3. TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI VÀ THỨ BA CỦA TAM GIÁC
A. LÝ THUYẾT.
1) Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác 
Ví dụ 1: Vẽ Trên tia lấy điểm sao cho
 trên tia lấy điểm sao cho 
Nối với ta được ( Hình ).
Ví dụ 2: Vẽ thêm có 
Trong thì gọi là góc sen giữa hai cạnh 
Trong thì gọi là góc sen giữa hai cạnh 
Xét và có:
Khi đó ta nói bằng theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
Kết luận:
Nếu hai cạnh và góc sen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc sẽ giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
Ví dụ 3: Cho Hình 
Chứng minh 
Chứng minh 
Xét và có:
 là cạnh chung
 ( giả thiết)
Vậy 
Vì ( hai góc tương ứng)
2) Trường hợp bằng nhau thứ ba của hai tam giác.
Ví dụ 4: Vẽ đoạn thẳng Vẽ tia sao cho 
Vẽ tia sao cho tia cắt tại 
ta được ( Hình ).
Ví dụ 5: Vẽ thêm có 
Trong thì là cạnh xen giữa hai góc 
Trong thì là cạnh xen giữa hai góc 
Với hai tam giác có các yếu tố như trên
Khi đó ta nói bằng theo trường hợp góc – cạnh – góc.
B. BÀI TẬP.
Dạng 1. Vẽ tam giác theo yêu cầu bài toán.
Bài 1: Vẽ biết 
Bài 2: Vẽ biết 
Bài 3: Vẽ biết 
Bài 4: Vẽ biết 
Bài 5: Vẽ biết 
Bài 6: Vẽ biết 
Bài 7: Vẽ biết 
Dạng 2. Chứng minh hai tam giác bằng nhau.
Bài 1: Cho Hình 
Chứng minh 
Chứng minh 
Bài 2: Cho Hình 
Chứng minh 
Chứng minh 
Bài 3: Cho Hình 
Chứng minh 
Chứng minh là phân giác 
Bài 4: Cho Hình 
Chứng minh 
Chứng minh 
Bài 5: Cho Hình 
Chứng minh 
Chứng minh 
Bài 6: Cho Hình 
Chứng minh 
Chứng minh 
Bài 7: Cho Hình 
Chứng minh 
Chứng minh 
Bài 8: Cho khác góc bẹt, trên tia lấy điểm 
Trên tia lấy điểm sao cho Vẽ là
tia phân giác Lấy bất kì trên tia ( Hình )
Chứng minh 
Chứng minh 
Bài 9: Cho vuông tại Trên cạnh lấy điểm
 sao cho Tia phân giác cắt ở ( Hình )
So sánh và 
Tính số đo 
Bài 10: Cho vuông tại có là trung
điểm của Tia phân giác cắt ở ( Hình )
Chứng minh là phân giác 
Chứng minh 
Tính của 
Bài 11: Cho vuông tại Tia phân giác góc cắt
 ở kẻ . Chứng minh . ( Hình )
Bài 12: Cho vuông tại Kẻ là tia phân giác 
Trên cạnh lấy điểm sao cho Chứng minh:
 là đường trung trực của 
Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho Chứng minh ba điểm thẳng hàng. ( Hình )
Bài 13: Cho nhọn có Phân giác của cắt tại Trên lấy điểm sao cho ( Hình 
Chứng minh 
 cắt tại Chứng minh 
Chứng minh 
Bài 14: Cho có . Lấy điểm trên 
điểm trên sao cho . ( Hình 
Chứng minh và 
Biết cắt tại Cho biết .
Chứng minh 
Bài 15: Cho có . Trên các cạnh 
lấy lần lượt các điểm và sao cho .
Gọi là giao điểm của và 
Chứng minh . ( Hình 
Chứng minh 
Bài 16: Cho . Kẻ 
. Kẻ . Gọi là giao điểm
của và ( Hình 
Chứng minh 
Chứng minh và .
Chứng minh là phân giác 
Bài 17: Cho vuông tại Trên cạnh lấy điểm 
sao cho Tia phân giác của cắt ở ( Hình 
Chứng minh 
Kẻ Chứng minh 
So sánh và 
Gọi là giao điểm của và là trung điểm
của Chứng minh thẳng hàng.
Bài 18: Cho biết là phân giác .
Trên cạnh lấy điểm sao cho ( Hình 
Chứng minh 
 cắt tại Chứng minh 
Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho 
Chứng minh 
Chứng minh thẳng hàng.
Bài 19: Cho có và tia phân giác cắt tại 
Trên cạnh lấy điểm sao cho . ( Hình 
Chứng minh .
 cần thêm điều kiện gì để .
Gọi cắt tại Chứng minh .
Chứng minh .
Bài 20: Cho vuông tại có . Tính ( Hình 
Trên cạnh lấy điểm sao cho .
Tia phân giác cắt tại Chứng minh 
Qua vẽ đường thẳng vuông góc với tại ,
 cắt tại . Chứng minh .
Chứng minh và thẳng hàng.
Bài 21: Cho vuông tại có Trên cạnh lấy
điểm sao cho Gọi là trung điểm của 
Chứng minh ( Hình 
 cắt tại Chứng minh 
Qua vẽ đường thẳng song song với 
cắt tại Trên đoạn lấy điểm 
sao cho Chứng minh 
Bài 22: Cho vuông tại có Trên cạnh 
lấy điểm sao cho Gọi là trung điểm của 
Kéo dài cắt tại ( Hình 
Nếu Tính 
Chứng minh suy ra 
Qua kẻ đường thẳng song song với cắt 
lần lượt tại và Chứng minh là tia phân giác 
Bài 23: Cho vuông tại Gọi là trung điểm của 
Trên tia lấy điểm sao cho là trung điểm của ( Hình 
Chứng minh và 
Chứng minh và 
Bài 24: Cho là trung điểm của là trung
điểm của Vẽ điểm sao cho là trung điểm của 
Chứng minh ( Hình 
Chứng minh 
Chứng minh 
Bài 25: Cho gọi lần lượt là trung điểm
của và Trên tia đối của tia và lấy
tương ứng hai điểm và sao cho . 
Chứng minh ( Hình 
Chứng minh thẳng hàng.
Bài 26: Cho có Hai điểm lần lượt
là trung điểm của ( Hình 
Chứng minh và 
Lấy điểm sao cho là trung điểm của 
 là trung điểm của Chứng minh 
Chứng minh 
Bài 27: Cho là trung điểm của Lấy điểm 
thuộc tia đối của tia sao cho . ( Hình 
Chứng minh 
Chứng minh 
Kẻ và Chứng minh 
Chứng minh thẳng hàng.
Bài 28: Cho có là trung điểm của Trên tia đối
của tia lấy điểm sao cho . ( Hình 
Chứng minh 
Chứng minh 
Vẽ tại Trên cạnh lấy điểm 
Sao cho Chứng minh 
từ đó suy ra 
Bài 29: Cho nhọn, vẽ . 
Vẽ tại vẽ tại Lấy 
sao cho là trung điểm của , là trung điểm
của cắt lần lượt tại ( Hình 
Chứng minh và chu vi bằng 
Nếu Tính các góc 
Bài 30: Cho vuông tại có Vẽ vuông
góc với tại Trên cạnh lấy điểm sao cho 
. Gọi là trung điểm cạnh ( Hình 
Chứng minh Từ đó suy ra 
Tia cắt tại Chứng minh 
từ đó suy ra 
Bài 31: Cho có và . Gọi là trung điểm
của ( Hình 
Chứng minh 
Trên cạnh lấy điểm trên cạnh lấy điểm
 sao cho Chứng minh 
Gọi là trung điểm của Trên tia đối của
tia lấy điểm sao cho 
Chứng minh thẳng hàng.
Bài 32: Cho có . là trung điểm của Trên tia
đối của tia lấy điểm sao cho . ( Hình 
Chứng minh 
Chứng minh 
Kẻ tại Trên tia đối của tia lấy điểm
 sao cho là trung điểm của Chứng minh 
Chứng minh 
Bài 33: Cho Gọi là trung điểm của Trên tia 
lấy điểm sao cho . ( Hình 
Chứng minh 
Vẽ tại Trên tia đối của tia lấy điểm 
sao cho Chứng minh 
và 
Chứng minh 
Bài 34: Cho nhọn có . Lấy là trung điểm
của Trên tia lấy điểm sao cho là trung điểm của 
Chứng minh ( Hình 
Chứng minh 
Vẽ . Trên tia lấy điểm sao cho
 là trung điểm của Chứng minh .
Chứng minh .
Bài 35: Cho nhọn. Kẻ Trên tia đối
của tia lấy điểm sao cho . ( Hình 
Chứng minh 
Chứng minh là tia phân giác của . 
Gọi là trung điểm của Trên tia lấy điểm 
sao cho là trung điểm của Chứng minh .
Bài 36: Cho nhọn có . Lấy là trung điểm của
 Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho .
Chứng minh ( Hình 
Kẻ tại Vẽ tia sao cho nhận tia
 làm tia phân giác. Tia cắt tại 
Chứng minh .
Tia cắt tia tại , tia cắt tia tại 
Chứng minh thẳng hàng.
Bài 37: Cho nhọn có . Vẽ 
Trên lấy điểm sao cho là trung điểm của ( Hình 
Chứng minh 
Gọi là trung điểm của Trên tia lấy điểm sao
cho là trung điểm của Chứng minh .
Chứng minh là tia phân giác và 
Gọi là giao điểm của và là trung điểm của 
Chứng minh thẳng hàng.
Bài 38: Cho nhọn có . Kẻ . 
Trên đoạn lấy điểm sao cho . ( Hình 
Chứng minh .
Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho .
Chứng minh 
Tia cắt tại tia cắt tại 
Chứng minh .
Chứng minh .
Bài 39: Cho có ba góc nhọn. Kẻ , .
Gọi là giao điểm của và Gọi là trung điểm của 
Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho là trung điểm của 
So sánh và . ( Hình 
Chứng minh .
Tìm điều kiện của để .
Trên các đoạn và lấy điểm và sao cho
. Chứng minh và đồng quy.
Bài 40: Cho nhọn có . Phân giác cắt tại 
Vẽ tại Tia cắt tại ( Hình 
Chứng minh 
Qua vẽ đường thẳng song song với cắt tại 
Lấy điểm nằm giữa và sao cho 
Chứng minh và 
Chứng minh 
Bài 41: Cho có . Kẻ . Trên
tia đối của tia lấy điểm Trên tia đối của tia lấy điểm
 sao cho . ( Hình 
Chứng minh .
Chứng minh 
Chứng minh 
 là tia phân giác của . Kẻ , .
Chứng minh đồng quy.
Bài 42: Cho có . Gọi là trung điểm của 
Trên đoạn lấy điểm trên tia đối của tia lấy điểm 
sao cho . ( Hình 
Chứng minh và 
Kẻ và ,
 cắt tại Chứng minh và 
Đường thẳng qua và vuông góc với cắt tia 
tại Chứng minh .
Bài 4. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG
A. LÝ THUYẾT.
1) Ba trường hợp bằng nhau đã biết của tam giác vuông.
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau ( Hình ).
Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau ( Hình ).
Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau ( cạnh huyền – góc nhọn)
( Hình ).
Ví dụ 1: Cho Hình 
Xét và có:
 là cạnh chung.
 ( giả thiết)
Vậy ( cạnh huyền – góc nhọn)
2) Trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này
bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia
thì hai am giác vuông đó bằng nhau.
( cạnh huyền – cạnh góc vuông) ( Hình ).
Ví dụ 2: Cho Hình 
Xét và có:
 là cạnh chung.
 ( giả thiết)
Vậy ( cạnh huyền – cạnh góc vuông).
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Cho Hình 
Chứng minh 
Chứng minh là trung điểm 
Bài 2: Cho Hình 
Chứng minh 
Chứng minh 
Bài 3: Cho Hình 
Chứng minh 
Chứng minh 
Bài 4: Cho Hình 
Chứng minh 
Chứng minh 
Chứng minh 
Bài 5: Cho Hình 
Chứng minh 
Chứng minh 
Chứng minh 
Bài 6: Cho Hình 
Chứng minh 
Chứng minh 
Bài 7: Cho đoạn thẳng Qua vẽ đường thẳng ,
Qua vẽ đường thẳng Qua trung điểm của vẽ
một đường thẳng cắt ở và cắt ở So sánh và 
( Hình 
Bài 8: Cho vuông tại có . Qua kẻ đường
thẳng ( cùng phía đối với ). Kẻ .
Chứng minh 
Chứng minh .
( Hình 
Bài 9: Cho vuông tại Gọi là trung điểm của 
và . ( Hình 
Chứng minh .
Qua kẻ đường thẳng sao cho và nằm cùng
phía với . Kẻ tại kẻ tại 
Chứng minh 
Bài 10: Cho . Tia đi qua trung điểm của 
Kẻ và vuông góc với .
So sánh và . ( Hình 
Bài 11: Cho có là trung điểm của Lấy 
thuộc tia đối của tia sao cho . ( Hình 
Chứng minh: 
Chứng minh: 
Kẻ , 
Chứng minh 
Chứng minh thẳng hàng.
Bài 12: Cho có . là trung
điểm của Trên tia đối của tia lấy điểm
 sao cho . ( Hình 
Chứng minh 
Chứng minh 
Kẻ và vuông góc với Chứng minh .
 cắt tại cắt tại 
Chứng minh thẳng hàng.
Bài 13: Cho nhọn. Trên tia đối của tia lấy điểm 
sao cho . Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho
. ( Hình 
Chứng minh 
Từ kẻ , Từ kẻ 
Chứng minh .
Trên tia lấy điểm trên tia lấy điểm sao cho
. Chứng minh thẳng hàng.
Bài 14: Cho nhọn và . Gọi là trung điểm
của Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . ( Hình 
Chứng minh và 
Gọi lần lượt là trung điểm của 
Chứng minh .
Chứng minh là trung điểm của 
Bài 15: Cho nhọn. Có là trung điểm của 
Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . ( Hình 
Chứng minh 
Chứng minh 
Gọi là trung điểm của đoạn đường thẳng
 cắt tại Chứng minh là trung điểm của 
Bài 16: Cho có . là trung điểm của 
Chứng minh ( Hình 
Từ kẻ và . Chứng minh .
Chứng minh 
Từ kẻ đường thẳng vuông góc với Từ kẻ đường
thẳng vuông góc với Hai đường thẳng này cắt nhau
tại Chứng minh thẳng hàng.
Bài 17: Cho nhọn có . là trung điểm của 
Từ kẻ vuông góc với tại vuông góc với tại 
Chứng minh ( Hình 
Chứng minh 
Gọi là giao điểm của với , là giao điểm của 
và Chứng minh .
Bài 5. TAM GIÁC CÂN, ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG
A. LÝ THUYẾT.
1) Tam giác cân.
Ví dụ 1: Cho có hai cạnh 
Khi đó được gọi là tam giác cân.
Kết luận:
Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.
Cụ thể: Hình cân tại đỉnh .
Hai cạnh là hai cạnh bên. là cạnh đáy.
Hai góc là hai góc ở đáy.
Trong một tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau. Ngược lại tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân.
Cụ thể: Hình có nên là tam giác cân tại 
Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau hoặc ba góc bằng nhau.
Tam giác cân có góc bằng là tam giác đều.
Tam giác vuông cân là tam giác vừa vuông vừa cân tại góc vuông.
2) Đường trung trực của một đoạn thẳng.
Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng là trung điểm của 
Đường thẳng vuông góc với tại ( Hình ).
Khi đó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng 
Kết luận:
Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm
Của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều
Hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Cụ thể: Hình Điểm 
Ngược lại điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng
thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Cho Hình 
 là tam giác gì?
Tính 
Bài 2: Cho Hình 
 là tam giác gì?
Tính 
Bài 3: Cho Hình 
Tính 
 là tam giác gì?
Bài 4: Cho Hình là tam giác gì?
Bài 5: Cho Hình là tam giác gì?
Bài 6: Cho Hình 
Chứng minh 
 là tam giác gì?
Bài 7: Cho Hình 
Chứng minh 
 là tam giác gì?
Bài 8: Cho Tia phân giác cắt ở Trên tia đối của tia 
lấy điểm sao cho . Chứng minh ( Hình 
Bài 9: Cho cân tại A, lấy điểm D thuộc AC,
E thuộc AB sao cho . ( Hình 
So sánh và .
Gọi I là giao điểm của BD và CE. 
Khi đó là tam giác gì? Vì sao?
Bài 10: Cho cân tại lấy điểm trên ,
điểm trên sao cho . Gọi là giao
điểm của và ( Hình 
Chứng minh là tam giác cân.
Chứng minh 
Bài 11: Cho cân tại Tia phân giác của 
cắt cạnh lần lượt ở và . ( Hình 
Chứng minh cân.
Chứng minh 
Chứng minh .
Bài 12: Cho cân tại Tia phân giác cắt tại 
Đường thẳng qua và vuông góc với AB cắt AB tại H. Đường
thẳng qua M và vuông góc với AC cắt AC tại K. ( Hình 
Chứng minh 
Chứng minh So sánh 
Chứng minh .
Bài 13: Cho cân tại vẽ tại tại 
Gọi là giao điểm của và ( Hình 
Chứng minh và .
Gọi là trung điểm của Chứng minh thẳng hàng.
Bài 14: Cho cân tại Gọi là trung điểm của 
Chứng minh 
Trên cạnh lấy điểm bất kỳ.
Chứng minh .
Tia cắt cạnh tại tia 
cắt cạnh tại Chứng minh 
	( Hình 
Bài 15: Cho vuông tại Trên cạnh lấy điểm sao cho
. Tia phân giác của cắt cạnh ở ( Hình 
Chứng minh 
Qua vẽ đường thẳng vuông góc với tại 
 cắt đường thẳng tại . Chứng minh 
Chứng minh và thẳng hàng.
Bài 16: Cho vuông tại Trên cạnh lấy điểm sao cho
. là trung điểm của ( Hình 
Chứng minh 
Đường thẳng cắt đường thẳng tại Chứng minh .
Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho .
Chứng minh thẳng hàng.
Bài 17: Cho Trên cạnh lấy điểm sao cho
. Gọi là trung điểm của cạnh ( Hình 
Chứng minh 
Chứng minh .
Tia cắt cạnh tại Chứng minh .
Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . 
Chứng minh thẳng hàng.
Bài 18: Cho có . là tia phân giác .
Trên cạnh lấy điểm sao cho . ( Hình 
Chứng minh 
 cắt tại Chứng minh là trung điểm của 
Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Chứng minh 
Chứng minh thẳng hàng.
Bài 19: Cho vuông tại Kẻ vuông góc với 
và tia phân giác của . ( Hình 
Trên cạnh lấy điểm sao cho .
Chứng minh và .
Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho .
Chứng minh thẳng hàng.
Bài 20: Cho vuông tại là tia phân giác của 
. Trên tia lấy điểm sao cho . ( Hình 
Chứng minh từ đó suy ra .
Từ kẻ đường thẳng vuông góc với nó cắt tại 
Chứng minh 
Bài 21: Cho cân tại Gọi là trung điểm của ( Hình 
Chứng minh suy ra là tia phân giác .
Chứng minh .
Trên cạnh và lấy lần lượt hai điểm sao cho
. Gọi là giao điểm của và 
Chứng minh .
Gọi là trung điểm của trên tia đối của tia lấy điểm
 sao cho . Chứng minh thẳng hàng.
Bài 22: Cho cân tại Gọi và lần lượt là trung điểm của và ( Hình 
Chứng minh 
Gọi là giao điểm của và .
Chứng minh có hai góc bằng nhau.
và 
Lấy điểm và sao cho và lần lượt là trung
điểm của và Chứng minh là trung điểm
của 
Bài 23: Cho cân tại Trên tia đối của tia lấy điểm 
Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . 
Chứng minh là tam giác cân. ( Hình 
Bài 24: Cho cân tại là tia phân giác của góc 
. Trên tia đối của tia lấy điểm .
Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho .
Chứng minh ( Hình 
Chứng minh .
Chứng minh .
Bài 25: Cho cân tại Trên cạnh lấy 2 điểm và 
sao cho . Nối và ( Hình 
Chứng minh cân.
Chứng minh 
Bài 26: Cho cân tại Lấy điểm là trung điểm của 
Trên tia lấy điểm , trên tia lấy điểm sao cho
. Chứng minh ( Hình 
 và là tia phân giác của góc .
.
.
 là đường trung trực của 
Bài 27: Cho cân tại Gọi là trung điểm
của đoạn thẳng ( Hình 
Chứng minh Từ đó suy ra .
Trên tia đối của tia lấy điểm và trên tia đối của tia
 lấy điểm sao cho . Chứng minh .
Lấy điểm bên trong sao cho .
Chứng minh thẳng hàng.
ÔN TẬP CHƯƠNG 4.
Bài 1: Cho vuông tại Kẻ là tia phân giác của 
 Trên cạnh lấy điểm sao cho .
Chứng minh 
Chứng minh và .
Chứng minh là đường trung trực của 
Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho .
Chứng minh thẳng hàng.
Bài 2: Cho có . Trên cạnh lấy điểm sao cho
. Tia phân giác của cắt tại 
Chứng minh và .
Gọi là giao điểm của và 
Chứng minh .
Gọi là trung điểm của Chứng minh thẳng hàng.
Chứng minh .
Bài 3: Cho góc nhọn . Lấy điểm trên tia 
và điểm trên tia sao cho . Gọi là trung điểm của
đoạn 
Chứng minh 
Trên tia lấy điểm sao cho .
Chứng minh .
Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại 
và tại Chứng minh và là đường trung trực của 
Gọi giao điểm của với là Chứng minh là tia phân giác của .
Bài 4: Cho có . Tia phân giác cắt cạnh tại 
Trên cạnh lấy điểm sao cho .
Chứng minh .
Tia cắt tia tại Chứng minh 
Chứng minh 
Cho . Chứng minh .
Bài 5: Cho cân tại Vẽ là phân giác góc 
Chứng minh 
Chứng minh là trung trực của 
Vẽ tại Trên cạnh lấy 
sao cho . Chứng minh 
và .
Gọi là trung điểm của Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Chứng minh thẳng hàng.
Bài 6: Cho vuông tại là phân giác 
Kẻ tại 
Chứng minh .
Chứng minh là đường trung trực của 
Kẻ ( nằm trên nửa mặt phẳng bờ không
chứa điểm trên tia lấy điểm sao cho .
Chứng minh .
 là trung điểm của Chứng minh thẳng hàng.
Bài 7: Cho vuông tại có . Kẻ 
Lấy điểm thuộc tia đối của tia sao cho .
Chứng minh rằng 
và tia là tia phân giác của .
Qua kẻ một đường thẳng song song với cắt 
tại và cắt tại Chứng minh và 
là đường trung trực của 
Kẻ ( thuộc tia Chứng minh thẳng hàng.
Bài 8: Cho cân tại Trên cạnh lấy điểm Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Các đường thẳng vuông góc với kẻ từ và cắt và lần lượt ở và Chứng minh 
Đường thẳng cắt tại điểm là trung điểm của 
Kẻ . Đường thẳng vuông góc với 
tại cắt đường thẳng tại 
Chứng minh và 
.
Bài 9: Cho vuông tại Gọi là trung điểm của Phân giác cắt tại Biết tại 
Chứng minh .
Tính các góc của 
Biết độ dài các cạnh của là ba số nguyên dương
liên tiếp. Tính chu vi của 
Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho .
Chứng minh 
Bài 10: Cho cân tại Kẻ tia phân giác Qua vẽ đường thẳng vuông góc với cắt tại và cắt tại đường thẳng kẻ qua và song song với cắt tại Phân giác góc cắt tại Chứng minh
 là các tam giác cân.
.
.
Bài 11: Cho có . là tia phân giác của .
Trên cạnh lấy điểm sao cho .
Chứng minh 
Gọi là giao điểm của và 
Chứng minh là trung điểm và .
Gọi là trung điểm của trên tia đối của tia 
lấy điểm sao cho . Chứng minh 
Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho .
Chứng minh thẳng hàng.
Bài 12: Cho đều, Trên các cạnh lần lượt
lấy ba điểm sao cho .
Chứng minh rằng là tam giác đều. 
Bài 13: Cho có . Trên tia lấy điểm sao cho . Tia phân giác cắt và lần lượt tại và 
Chứng minh 
Chứng minh .
Từ kẻ tại 
Chứng minh 
Bài 14: Cho có . Trên tia lấy điểm sao cho . Tia phân giác cắt ở Gọi là trung điểm của 
Chứng minh 
Chứng minh .
Chứng minh thẳng hàng.
Kẻ . cần thêm điều kiện gì
để .