Giáo án ôn tập Hình học 7 (Kết nối tri thức với cuộc sống) - Chuyên đề: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Nhận biết tam giác cân, tam giác đều. Vận dụng tính chất của tam giác cân, tam giác đều để tính số đo góc hoặc chứng minh các góc bằng nhau, các cạnh bằng nhau. Bài
1. Bài 1: Bài Bài 1. Trong các hình sau, hình nào là tam giác cân, hình nào là tam giác đều?
E
Q
60°
K
70°
40°
G
I	J	R

N	M	S
Lời giải:
36°
36°
D

72°
F
Bài 2. Tìm số đo x trong hình vẽ sau:
70°
X
T
S	Y	V
Lời giải:
Bài 3. Cho tam giác
ABC vuông cân tại
A . Trên đường thẳng
AB lấy điểm
D sao cho
BD = BC ( D và
A khác phía so với
B ). Tính số đo các góc của tam giác
Lời giải:
ADC.
Bài 4. Cho
DABC
cân tại
A . Trên các cạnh
AC ,
AB lần lượt lấy M , N
sao cho
AM = AN .
Chứng minh ABM = ACN
Gọi O
là giao điểm của BM
và CN . Chứng minh tam giác OBC
Lời giải:
cân.
Bài 5.	Cho
xOy
= 60°, điểm
A thuộc	tia phân giác của
xOy . Kẻ
AB ^ Ox
( B ÎOx ) và
AC ^ Oy
( C ÎOy ). Tam giác
OBC
là tam giác gì? Tại sao?
Lời giải:
Bài 6. Cho tam giác
ABC vuông tại
A , BC = 2AB .
D là trung điểm cạnh
AC . Đường thẳng
vuông góc với
AC tại
D cắt
BC tại
E . Chứng minh
DEAC cân.	b) DABE đều.
Lời giải:
Bài 7: Cho tam giác
ABC vuông tại
A(AB < AC) . Tia phân giác góc
A cắt
BC tại
D . Qua
D kẻ
đường thẳng vuông góc với
AE = AF . Chứng minh
BC tại
D , cắt
AC tại
F . Trên
AB lấy điểm F sao cho
a) ABC = DEC
;	b) DDBF là tam giác cân;	c) DB = DE .
Lời giải:
Dạng 2. Vận dụng tính chất của đường trung trực để giải quyết bài toán.
Bài 1. Tam giác
ABC
có điểm
A thuộc đường trung trực của
BC . Biết
B = 40°. Tính số đo
ABC
của các góc trong
Lời giải:
Bài 2. Cho
DABC
cân tại
A có
A > 90° . Các đường trung trực của AB
và AC
cắt cạnh BC
theo thứ tự ở D
và E
và hai trung trực cắt nhau ở F .
Biết
A = 110° . Tính số đo góc
DAE .
Chứng minh 2BAC = DAE +180°
Tính số đo
DFE .

Lời giải:
Bài 3. Cho góc
xOy . Từ điểm
A nằm trong góc đó kẻ AH
vuông góc với Ox ( H
thuộc
Ox )
và AK
vuông góc với Oy ( K
thuộc
Oy ). Trên tia đối của tia
HA lấy điểm B
sao cho
HB = HA . Trên tia đối của tia
OB = OC .
KA lấy điểm C
sao cho
KC = KA . Chứng minh
Lời giải:
Bài 4. Cho
DABC
vuông tại
A . M
là trung điểm của cạnh
AB . Đường trung trực của cạnh
AB cắt cạnh
BC tại
N . Gọi I
là giao điểm của CM
và AN .
Chứng minh
DANB
là tam giác cân. So sánh:
NAB và
NBA .
Chứng minh N
là trung điểm của
BC .
Nếu
IB = IC , tính số đo của
ABC .
Lời giải:
Dạng 3. Chứng minh một điểm thuộc đường trung trực. Chứng minh một đường thẳng là đường trung trực của một đoạn thẳng.
Bài 1. Cho
xOy = 90° . Trên tia Ox
lấy điểm
A , trên tia Oy
lấy điểm
B . Kẻ đường trung trực
HM của đoạn thẳng
OA (
H ÎOA ,
M Î AB ). Chứng minh M
thuộc đường trung trực
của OB .
Lời giải:
Bài 2. Cho tam giác
ABC
có cân tại
A . Gọi H
là trung điểm của
BC .
Chứng minh rằng
Chứng minh rằng
DABH = DACH
AH là đường trung trực của BC
Trên tia đối của tia
HA lấy điểm I
sao cho
HA = HI . Chứng minh rằng:
IC // AB
Chứng minh CAH = CIH
Bài 3. Cho tam giác
ABC có
AB < AC . Xác định điểm
Lời giải:
D trên
AC sao cho
DA + DB = AC .
Bài 4. Cho bốn điểm
A , B , C , D
tạo thành hình có
AB // CD và
BC // AD
như hình vẽ.
Giao điểm của
AC và
BD là
O . Từ O
vẽ vuông góc với
AC cắt cạnh
BC ,
AD lần
lượt tại M ,
N . Chứng minh
AC là trung trực của MN và
Lời giải:
AM = MC = CN = NA .
Bài 5. Cho tam giác

ABC

cố định, đường phân giác AI

( I Î BC ). Trên đoạn thẳng IC

lấy
điểm
H . Từ H
kẻ đường thẳng song song với
AI , cắt
AB kéo dài tại E
và cắt
AC tại
F . Chứng minh:
Đường trung trực của EF

luôn đi qua đỉnh

A của tam giác

ABC ;
Khi H
định.
di động trên đoạn thẳng IC
thì đường trung trực của đoạn thẳng EF
luôn cố
Lời giải:
PHIẾU BÀI TẬP.
Dạng 1. Nhận biết tam giác cân, tam giác đều. Vận dụng tính chất của tam giác cân, tam giác đều để tính số đo góc hoặc chứng minh các góc bằng nhau, các cạnh bằng nhau.
Bài 1. Trong các hình sau, hình nào là tam giác cân, hình nào là tam giác đều? Giải thích tại sao?
I
60°
E
D
A	80°
B	C	M

50°
F	K	G	H
Bài 2. Trong các hình sau, hình nào là tam giác cân, hình nào là tam giác đều? Giải thích tại sao?
E
F
M
D	H	G	L	O	P	N
Bài 3. Cho tam giác
ABC cân tại
A . Tính số đo các góc còn lại của tam giác
ABC
nếu biết:
A
= 40°;	b)
B = 50°;	c) C
= 60°.
Bài 4. Tìm số đo x trong hình vẽ sau:
C
x
B
D	A
Bài 5. Cho tam giác
ABD
cân tại
A có
A = 40°. Trên tia đối của tia
DB lấy điểm C
sao cho
DC = DA . Tính số đo góc ACB .
Bài 6. Cho tam giác
ABC vuông tại
A , B = 30° . Trên cạnh
BC lấy
M sao cho
AM = BM .
Chứng minh DAMC đều.
Bài 7. Cho tam giác
ABC . Tia phân giác góc B
cắt cạnh
AC tại
D . Qua
D kẻ đường
thẳng song song với
BC , nó cắt cạnh
AB tại
E . Chứng minh tam giác
EBD
cân.
Bài 8. Cho tam giác
ABC vuông cân tại
A . Tia phân giác góc
A cắt cạnh BC
tại
D . Trên
cạnh
AB và
AC lần lượt lấy các điểm
E và F
sao cho
AE = CF . Chứng minh
DABD,DADC,DAEF vuông cân.
Bài 9. Cho tam giác
ABC đều. Trên cạnh
AB, BC, CA
lần lượt lấy các điểm M, N, P
sao cho
AM = BN = CP . Chứng minh tam giác MNP đều.
Bài 10. Cho tam giác
ABC
cân tại
A . Tia phân giác góc B
cắt cạnh
AC tại
D , tia phân giác
góc C
cắt cạnh
AB tại
E . Chứng minh tam giác
ADE
cân.
Bài 11. Cho tam giác ABC
cân tại
A . Trên tia đối của tia BC
lấy điểm
D , trên tia đối của tia
CB lấy điểm E
sao cho
BD = CE . Chứng minh tam giác
ADE
cân.
Bài 12. Cho
xOy
= 120°, điểm
A thuộc tia phân giác của
xOy . Kẻ
AB ^ Ox
( B ÎOx ) và
AC ^ Oy
( C ÎOy ). Tam giác
ABC
là tam giác gì? Tại sao?
Bài 13. Cho tam giác ABC
cân tại A (
A < 90°). Kẻ
BD vuông góc với
AC tại
D , kẻ CE
vuông góc với AB tại E .
Chứng minh tam giác ADE cân.
Chứng minh DE // BC .
Gọi I
là giao điểm của
BD và CE . Chứng minh
IB = IC .
Chứng minh
Bài 14. Cho tam giác
AI ^ BC .
ABC cân tại

A . Lấy điểm

M trên cạnh

BC (MB < MC) . Trên tia đối của
tia CB
lấy điểm N
sao cho BM = CN . Đường thẳng qua
M vuông góc với
BC cắt AB
tại E . Đường thẳng qua N
vuông góc BC
cắt
AC tại F .
Chứng minh: EM = FN
Qua E
kẻ ED // AC
( D Î BC ). Chứng minh
MB = MD .
EF cắt BC tại O . Chứng minh OE = OF .
Dạng 2. Vận dụng tính chất của đường trung trực để giải quyết bài toán
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
Bài toán.
Bài 1. Cho hai điểm
A , B
nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng
MN , Chứng minh
MAB
NAB .
Bài 2. Cho
ABC
cân tại
B . Lấy điểm D
đối xứng với điểm B
qua
AC . Chứng minh
ABD
CBD .
Bài 3. Tam giác
ABC
vuông tại A
có C = 30°
. Trên tia đối của tia AC
lấy điểm D
sao cho
AC
AD	. Tính số đo góc BDA .
Bài 4. Cho góc vuông
xOy . Điểm M
nằm trong góc đó. Vẽ điểm N
và P
sao cho tia Ox là
đường trung trực của MN
và Oy
là đường trung trực của
MP .
Chứng minh ON = OP .
Chứng minh ba điểm
P , O , N
thẳng hàng.
Bài 5. Cho
DABC
vuông tại
A . Đường trung trực của đoạn thẳng AC
cắt AC
tại
H , cắt BC
tại
D . Nối
A và D .
So sánh số đo góc
DAB
và DBA .
Chứng minh D là trung điểm của BC
Bài 6. Cho
DABC . Các đường trung trực của
AB và
AC cắt cạnh BC
theo thứ tự ở M
và N .
Biết
B = 30° , C = 45° . Tính số đo góc
BAC
và MAN .
Chứng minh
MAN
= 2BAC -180° .
Bài 7. Cho góc vuông
xOy . Trên các tia
Ox , Oy
lấy hai điểm
A và B
(không trùng với
O ).
Đường trung trực của các đoạn thẳng OA và OB
cắt nhau ở
M . Chứng minh:
A , M , B thẳng hàng.
M
là trung điểm của
AB .
Bài 8.
DABC có
B - C = 30°. Đường trung trực của BC
cắt
AC ở K .
Chứng minh
KBC
= KCB .
Tính số đo góc
ABK
Biết
AB = 3 cm,
AC = 5 cm. Tính chu vi tam giác
ABK .
Dạng 3. Chứng minh một điểm thuộc đường trung trực. Chứng minh một đường thẳng là đường trung trực của một đoạn thẳng.
Bài 1. Cho đoạn thẳng
AB = 5 cm. Vẽ đường tròn tâm
A bán kính
4 cm
và đường tròn tâm B
bán kính 3 cm . Hai đường tròn này cắt nhau tại D , E . Chứng minh:
Điểm
A thuộc đường trung trực của
DE .
AB
là đường trung trực của
DE .
Bài 2. Cho đoạn thẳng
AB . Dựng các tam giác cân
MAB ,
NAB
lần lượt tại M
và N
( M , N
nằm khác phía so với AB ). Chứng minh:
Điểm M
thuộc đường trung trực của
AB ;
MN
là đường trung trực của
AB .
Bài 3. Cho
DABC , đường phân giác
AD . Trên tia
AC lấy điểm E
sao cho
AE = AB . Chứng
minh:
BD = DE ;
AD
là đường trung trực của
BE .
Bài 4. Cho
DDEF
có DE = DF . Lấy điểm K
nằm trong tam giác sao cho
KE = KF . Kẻ KP
vuông góc với DE
( P Î DE ),
KQ vuông góc với DF
( Q Î DF ). Chứng minh:
K
thuộc đường trung trực của EF
và PQ ;
DK
là đường trung trực của EF
và PQ . Từ đó suy ra
PQ // EF .
Bài 5. Cho
DABC
cân tại
A , M
là trung điểm của
BC . ME
vuông góc với
AB , MF
vuông
góc với AC . Chứng minh:
AM
là trung trực của của
BC ;
ME = MF và AM
EF // BC .
là trung trực của
EF ;
Bài 6. Cho góc
xOy
khác góc bẹt Oz
là tia phân giác của
xOy . Gọi M
là một điểm bất kì
thuộc tia
Oz . Qua M
vẽ đường thẳng a
vuông góc với
Ox tại A, cắt Oy
tại C
và vẽ
đường thẳng b
vuông góc với Oy
tại
B , cắt Ox
tại
D . Chứng minh:
Điểm O
thuộc đường trung trực của
AB ;
OM
là đường trung trực của
AB ;
OM là đường trung trực của CD .
AB // CD
Bài 7. Cho hai điểm
A , B
nằm cùng phía với đường thẳng
d . Xác định vị trí điểm M
trên
đường thẳng d
sao cho M
cách đều hai điểm
A và B
Bài 8. Cho tam giác
ABC
cân tại
A ( A
< 90°). Đường trung trực của cạnh
AC cắt tia CB
tại
điểm
D . Trên tia đối của tia
AD lấy điểm E
sao cho
AE = BD . Chứng minh.:
Chứng minh
Chứng minh
Chứng minh
DADC cân;
DAC = ABC ;
AD = CE ;
Lấy F
là trung điểm của
DE . Chứng minh CF
là đường trung trực của
DE .
Bài 9. Cho
AB ;
DABC
AC .
nhọn, đường cao
AH . Lấy các điểm P
và Q
lần lượt đối xứng với H
qua
Chứng minh AP = AQ .
Gọi I
, K lần lượt là giao điểm của
PQ với
AB ,
AC . Chứng minh
API = AHI và
AHK = AQK .
Chứng minh

HA là tia phân giác của

IHK .
Cho
BAC
= 60°. Tính số đo góc
PAQ
Bài 10. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A . Tia phân giác của B
cắt
AC tại
E . Từ E
kẻ EH
vuông góc với BC tại H .
Chứng minh: DABE = DHBE .
Chứng minh
BE là đường trung trực của đoạn thẳng
AH .
Kẻ
AD ^ BC (D Î BC) . Chứng minh AH
là tia phân giác của

DAC
Phần III. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ TỰ GIẢI
Dạng 1. Nhận biết tam giác cân, tam giác đều. Vận dụng tính chất của tam giác cân, tam giác đều để tính số đo góc hoặc chứng minh các góc bằng nhau, các cạnh bằng nhau.
Bài 1: Trong các hình sau, hình nào là tam giác cân, hình nào là tam giác đều?
E
Q
60°
K
70°
40°
G
I	J	R

N	M	S
36°
36°
D

72°
F
Bài 2. Tìm số đo x trong hình vẽ sau:
70°
X
T
Bài 3. Cho tam giác
S
ABC vuông cân tại
Y	V
A . Trên đường thẳng

AB lấy điểm

D sao cho
BD = BC ( D và
A khác phía so với
B ). Tính số đo các góc của tam giác
ADC.
Bài 4. Cho
DABC
cân tại
A . Trên các cạnh
AC ,
AB lần lượt lấy M , N
sao cho
AM = AN .
Chứng minh ABM = ACN
Gọi O
là giao điểm của BM
và CN . Chứng minh tam giác OBC
cân.
Bài 5.	Cho
xOy
= 60°, điểm
A thuộc	tia phân giác của
xOy . Kẻ
AB ^ Ox
( B ÎOx ) và
AC ^ Oy
( C ÎOy ). Tam giác
OBC
là tam giác gì? Tại sao?
Bài 6. Cho tam giác
ABC vuông tại
A , BC = 2AB .
D là trung điểm cạnh
AC . Đường thẳng
vuông góc với
AC tại
D cắt
BC tại
E . Chứng minh
DEAC cân.	b) DABE đều.
Bài 7: Cho tam giác
ABC vuông tại
A(AB < AC) . Tia phân giác góc
A cắt
BC tại
D . Qua
D kẻ
đường thẳng vuông góc với
AE = AF . Chứng minh
BC tại
D , cắt
AC tại
F . Trên
AB lấy điểm F sao cho
a) ABC = DEC	b) DDBF là tam giác cân	c) DB = DE .
Dạng 2. Vận dụng tính chất của đường trung trực để giải quyết bài toán
Bài 1. Tam giác
ABC
có điểm
A thuộc đường trung trực của
BC . Biết
B = 40° . Tính số đo
ABC
của các góc trong 
Bài 2. Cho
DABC
cân có
A > 90° . Các đường trung trực của
AB và
AC cắt cạnh
BC theo thứ
tự ở D và E và hai trung trực cắt nhau ở F .
Biết
A = 110° . Tính số đo góc
DAE .
Chứng minh 2BAC = DAE +180°
Tính số đo DFE .
Bài 3. Cho góc
xOy . Từ điểm
A nằm trong góc đó kẻ AH
vuông góc với Ox ( H
thuộc
Ox )
và AK
vuông góc với Oy ( K
thuộc
Oy ). Trên tia đối của tia
HA lấy điểm B
sao cho
HB = HA . Trên tia đối của tia
OB = OC .
KA lấy điểm C
sao cho
KC = KA . Chứng minh
Bài 4. Cho
DABC
vuông tại
A . M
là trung điểm của cạnh
AB . Đường trung trực của cạnh
AB cắt cạnh BC
tại
N . Gọi I
là giao điểm của CM
và AN .
Chứng minh
DANB
là tam giác cân. So sánh:
NAB và
NBA .
Chứng minh N
là trung điểm của
BC .
Nếu
IB = IC , tính số đo của
ABC .
Dạng 3. Chứng minh một điểm thuộc đường trung trực. Chứng minh một đường thẳng là đường trung trực của một đoạn thẳng.
Bài 1. Cho
xOy = 90° . Trên tia Ox
lấy điểm
A , trên tia Oy
lấy điểm
B . Kẻ đường trung trực
HM của đoạn thẳng
OA (
H ÎOA ,
M Î AB ). Chứng minh M
thuộc đường trung trực
của OB .
Bài 2. Cho tam giác

ABC có

AB < AC . Xác định điểm

D trên

AC sao cho

DA + DB = AC .
Bài 3. Cho bốn điểm
A , B , C , D
tạo thành hình có
AB // CD và
BC // AD
như hình vẽ.
Giao điểm của
AC và
BD là
O . Từ O
vẽ vuông góc với
AC cắt cạnh
BC ,
AD lần
lượt tại M ,
N . Chứng minh
AC là trung trực của MN và
AM = MC = CN = NA .
O
B	M	C
A	N	D
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của B
góc với BC tại H.
cắt AC tại E. Từ E kẻ EH vuông
Chứng minh: DABE = DHBE .
Chứng minh BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.
Kẻ
AD ^ BC (D Î BC) . Chứng minh AH là tia phân giác của

DAC
Bài 5. Cho tam giác
ABC
cố định, đường phân giác AI
( I Î BC ). Trên đoạn thẳng IC
lấy
điểm
H . Từ H
kẻ đường thẳng song song với
AI , cắt
AB kéo dài tại E
và cắt
AC tại
F . Chứng minh:
Đường trung trực của EF

luôn đi qua đỉnh

A của tam giác

ABC ;
Khi H
định.
di động trên đoạn thẳng IC
thì đường trung trực của đoạn thẳng EF
luôn cố