Giáo án ôn tập Hình học 7 (Kết nối tri thức với cuộc sống) - Chuyên đề: Góc ở vị trí đặc biệt. Tia phân giác của một góc

CHUYÊN ĐỀ: GÓC Ở VỊ TRÍ ĐẶC BIỆT. TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC
A. Lý thuyết 
1. Góc ở vị trí đặc biệt 
a) Hai góc kề nhau: Hai góc kề nhau là hai góc có chung đỉnh và chung 1 cạnh, hai cạnh còn lại nằm về 2 phía của đường thẳng chứa cạnh chung đó.
b) Hai góc bù nhau: Hai góc bù nhau là hai góc có tổng số đo của hai góc là 
c) Hai góc kề bù: hai góc vừa kề vừa bù gọi là hai góc kề bù
d) Hai góc đối đỉnh: Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh góc kia.
*) Tính chất: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. Mỗi góc chỉ có duy nhất một góc đối đỉnh với nó.
2. Tia phân giác của một góc
a) Tia phân giác của một góc: Là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau.
b) Cách vẽ: 
Để vẽ tia phân giác của . Ta thực hiện theo 2 bước.
Bước 1: Vẽ .
Bước 2: Vẽ tia nằm giữa hai tia sao cho hoặc .
Đường thẳng chứa tia phân giác của một góc được gọi là đường phân giác của góc đó.
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Góc ở vị trí đặc biệt
*) Phương pháp giải: Nhận biết và tính được một số góc kề bù, đối đỉnh
Bài 1:
Trong các hình cặp góc nào đối đỉnh, cặp góc nào không đối đỉnh? Vì sao?
Lời giải
Vì hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh góc kia nên chỉ có hình a) là cặp góc đối đỉnh.
Bài 2:
Hai đường thẳng và cắt nhau tại như hình vẽ. Hãy điền vào chỗ trống () trong các phát biểu sau: 
1. Góc và góc  là hai góc đối đỉnh vì cạnh là tia đối của cạnh và cạnh là  của cạnh . 
 2. Góc và góc là  vì cạnh là tia đối của cạnh  và cạnh 
Lời giải
1. và là hai góc đối đỉnh vì cạnh là tia đối của cạnh và cạnh là tia đối của cạnh . 
2. và là hai góc đối đỉnh vì cạnh là tia đối của cạnh và cạnh là tia đối của cạnh .
Bài 3:
Vẽ ba đường thẳng cùng đi qua một điểm. Đặt tên cho các góc tạo thành. 
1. Viết tên các cặp góc đối đỉnh. Chỉ ra các cặp góc bằng nhau
2. Viết tên các 3 cặp góc kề bù.
Lời giải
1. Các cặp góc đối đỉnh là và ; và ; và ; và ; và ; và . Các cặp góc đối đỉnh thì bằng nhau. 
2. Các cặp góc kề bù là: và ; và ; và 
Bài 4:
Cho có số đo bằng . Vẽ góc đối đỉnh với . Hỏi góc này có số đo bằng bao nhiêu độ ?
Lời giải
Vì hai góc đối đỉnh có số đo bằng nhau nên góc đối đỉnh với cũng có số đo bằng .
Bài 5:
Hai đường thẳng vàcắt nhau tại tạo thành có số đo bằng . 
1. Tính số đo góc.
2. Tính số đo góc. 
3. Viết tên các cặp góc đối đỉnh. 
4. Viết tên các cặp góc kề bù.
Lời giải
1. Vì và là hai góc đối đỉnh nên .
2. Vì kề bù với nên .
3. Các cặp góc đối đỉnh: và ; và .
4. Các cặp góc bù nhau: và ; và ; và ; và .
Bài 6:
1. Vẽ có số đo bằng . 
2. Vẽ kề bù với . Hỏi số đo của ? 
3. Vẽ kề bù với . Tính số đo ?
Lời giải
1. Xem hình vẽ. 
2. Vì kề bù với nên .
3. Vì kề bù với nên .
Bài 7:
Cho hai góc kề nhau và có tổng số đo bằng và . 
1. Tính số đo các góc và . 
2. Vẽ các tia lần lượt là các tia đối của các tia. Tính số đo các , .., .
Lời giải
1. Ta có . Thay vào tìm được và .
2. , . Tương tự, ta tìm được .
Bài 8:
Vẽ hai đoạn thẳng cắt nhau sao cho trong số các góc tạo thành có một góc bằng . Tính số đo các góc còn lại.
Lời giải
Vì và là hai góc đối đỉnh nên .
Vì kề bù nên suy ra 
.
Do và là hai góc đối đỉnh nên .
Bài 9:
Cho . Vẽ tia là phân giác . Vẽ là tia đối của tia. Vẽ góc kề bù với . Khi đó hai và có phải là hai góc đối đỉnh không?
Lời giải
Vì kề bù với nên là hai tia đối nhau. 
Theo đề bài là tia đối của tia nên và là hai góc đối đỉnh.
Bài 10:
Cho . Vẽ góc kề bù với . Vẽ kề bù với . Khi đó và có phải là hai góc đối đỉnh không?
Lời giải
Vì kề bù với nên và là hai tia đối nhau; kề bù với nên và là hai tia đối nhau. 
Do đó và là hai góc đối đỉnh.
Bài 11:
Cho . Vẽ kề bù với . Vẽ kề bù với . Vẽ là phân giác . Vẽ là phân giác . Khi đó và có phải là hai góc đối đỉnh hay không?
Lời giải
Vì kề bù với nên và là hai tia đối nhau, vì kề bù với nên và là hai tia đối . Ta có (đối đỉnh). 
Do và lần lượt là phân giác và nên 
. Lại có:
hay và kề bù. 
Từ đó suy ra và là hai tia đối nhau nên và là hai góc đối đỉnh.
Bài 12:
Cho góc bẹt . Vẽ tia sao cho góc 
a) Tính góc 
b) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa vẽ tia sao cho . Chứng tỏ là tia phân giác của 
c) Vẽ tia là tia đối của tia , tia là tia đối của tia . Tính góc và so sánh với 
Lời giải
a) Vì là góc bẹt và .
b) Vì ba tia cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là và nên tia nằm giữa hai tia .
Lại có nên tia là tia phân giác của góc 
c)Vì Vẽ tia là tia đối của tia và .Vậy ; 
Vì tia là tia đối của tia và . Vậy 
Suy ra 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
Hai đường thẳng và cắt nhau tại tạo thành có số đo bằng . 
1. Tính số đo . 
2. Tính số đo . 
3. Viết tên các cặp góc đối đỉnh.
Lời giải
1. Vì đối đỉnh nên . 
2. Vì và là hai góc kề bù 
nên . 
3. đối đỉnh và đối đỉnh .
Bài 2:
1. Vẽ có số đo bằng . 
2. Vẽ đối đỉnh với góc .
3. Vẽ tia phân giác của . Vẽ tia đối của tia . Kể tên các cặp góc đối đỉnh.
Lời giải
1. Vẽ tia .
Đặt thước đo góc sao cho tâm của thước trùng với đỉnh , tia đi qua vạch . 
Vẽ tia đi qua vạch của thước. Ta vẽ được . Hình vẽ
2. Vẽ tia là tia đối của tia . Vẽ tia là tia đối tia ta được đối đỉnh với . Hình vẽ
3. Các cặp góc đối đỉnh là và ; và ; và ; và ; và ; và . 
ID 05 072022 CDCB 7 STT55
Bài 3:
Cho góc bẹt. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ, vẽ các tia sao cho ,. Tia và có vuông góc với nhau không? Tại sao ?
Lời giải
Vì kề bù với suy ra .
Vì OD nằm giữa hai tia OC và OB suy ra
Hay đường thẳng chứa tia vuông góc với đường thẳng chứa tia 
ID 05 072022 CDCB 7 STT55
Bài 4:
Cho là góc bẹt . Trên cùng một mặt phẳng bờ , vẽ tia . Vẽ tia phân giác của , tia phân giác của . Tia và có vuông góc với nhau không? Vì sao? 
Lời giải
Tia là tia phân giác của nên . 
Tương tự 
Vì nằm giữa và nên
ID 05 072022 CDCB 7 STT55Dạng 2: Vẽ tia phân giác của một góc và áp dụng tính chất tia phân giác
*) Phương pháp giải:
+ Bước 1: biết vẽ góc với một số đo cho trước
+ Bước 2: biết áp dụng vẽ tia phân giác của góc theo số đo hoặc theo cách vẽ bằng thước hai lề. 
*) Bài toán:
Bài 1:
a) Vẽ góc có số đo .
b) Vẽ tia phân giác của góc ở ý trên.
Lời giải
Cách vẽ 
Vẽ tia .
Đặt thước đo góc sao cho tâm của thước trùng với gốc của tia và tia đi qua vạch .
Vẽ tia đi qua vạch của thước. Ta vẽ được .
Vì tia là tia phân giác của nên ta có 
Đặt thước đo góc sao cho tâm của thước trùng với điểm của tia và tia đi qua vạch . Vẽ tia đi qua vạch và tia nằm giữa hai tia và , ta được tia phân giác của .
Bài 2:
a) Vẽ góc có số đo .
b) Vẽ tia phân giác của góc ở ý trên.
Lời giải
Cách vẽ: 
a) Vẽ tia .
Đặt thước đo góc sao cho tâm của thước trùng với điểm của tia và tia đi qua vạch .
Vẽ tia đi qua vạch của thước. Ta vẽ được .
b) Vì tia là tia phân giác của nên ta có 
Đặt thước đo góc sao cho tâm của thước trùng với điểm của tia và tia đi qua vạch . Vẽ tia đi qua vạch và tia nằm giữa hai tia và , ta được tia phân giác của .
Bài 3:
a) Vẽ có số đo .
b) Vẽ tia phân giác của ở ý trên.
Lời giải
Cách vẽ 
Vẽ tia .
Đặt thước đo góc sao cho tâm của thước trùng với điểm của tia và tia đi qua vạch .
Vẽ tia đi qua vạch của thước. Ta vẽ được . 
Vì tia là tia phân giác của nên ta có 
Đặt thước đo góc sao cho tâm của thước trùng với điểm của tia và tia đi qua vạch . Vẽ tia đi qua vạch và tia nằm giữa hai tia và , ta được tia phân giác của .
Bài 4:
Vẽ tia phân giác của các góc được cho dưới đây:
Lời giải
Cách 1: Dùng thước kẻ hai lề vẽ tia phân giác dựa theo tính chất hình thoi có hai đường chéo là hai đường phân giác. Ta có các tia phân giác cần vẽ, riêng ý c) là góc bẹt vì vậy kẻ vuông góc ta có tia phân giác
Cách 2: Dùng thước đo góc ta tiến hành đo góc cần dựng tia phân giác áp dụng tính chất chia đôi góc ta vẽ góc nhỏ có số đo bằng một nửa góc đã cho có chung 1 cạnh, riêng ý c) là góc bẹt vì vậy kẻ vuông góc ta có tia phân giác
Bài 5:
Vẽ tia phân giác của được cho dưới đây: 
Lời giải
Vẽ đường tròn tâm bán kính cắt hai cạnh của tại 
Vẽ các đường tròn Tâm có cùng bán kính cắt nhau tại 
Vẽ tia 
Khi đó tia phân giác của là tia .
Bài 6:
Cho hình vẽ. Biết và hai tia đối nhau. Chỉ ra các tia phân giác trên hình bên; Tính số đo của .
Lời giải
Vì là tia phân giác của 
 là tia phân giác của 
Ta có .
Bài 7:
Cho hai góc kề bù sao cho .
a) Tính 
b) Gọi là tia phân giác của. Chứng tỏ 
Lời giải
a) Vì hai là hai góc kề bù 
Vậy 
b) Vì là tia phân giác của có: 
mà vậy 
Bài 8:
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia , vẽ hai tia và sao cho 
a) Tính Tia có là tia phân giác của không? Vì sao?
b) Gọi tia là tia đối của tia .Tính số đo của ?
c) Gọi là tia phân giác của . Tính số đo của ?
Lời giải
a) Vì Tia nằm giữa hai tia và 
Vậy 
 không là tia phân giác của vì: 
b) Vì tia là tia đối của tia nên tia nằm giữa hai tia và 
suy ra: 
Vậy 
c) Vì là tia phân giác của nên 
Mà tia nằm giữa hai tia và nên ta có: 
. 
Vậy 
Bài 9:
Vẽ 2 góc kề bù và , biết . Gọi là tia phân giác của , là tia phân giác của . Tính 
Lời giải
Ta có và là 2 góc kề bù 
Vì là tia phân giác của 
Vì là tia phân giác của 
Vì và đối nhau và nằm giữa và 
Có và là 2 góc kề bù 
Bài 10:
Cho và là hai góc kề bù. Biết 
a) Tính số đo mỗi góc. 
b) Gọi là tia phân giác của . Tính số đo . 
Lời giải
a) Vì và là hai góc kề bù nên: 
 mà 
Do đó: 
b) Vì là tia phân giác của nên 
Vì và là hai góc kề bù nên: 
Do đó 
Bài 11:
Cho điểm thuộc đường thẳng . Trên nửa mặt phẳng bờ , vẽ các tia và sao cho .
a) Tính số đo . Từ đó suy ra là tia phân giác của .
b) Tính số đo và .
c) Tia có phải tia phân giác của không ? Vì sao ?
Lời giải
a) Ta có tia và tia cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng .
 Mà 
Suy ra tia nằm giữa hai tia và (1)
	(2)
Từ (1) và (2) là tia phân giác của 
b) Ta có và là hai góc có chung cạnh , hai cạnh còn lại và là hai tia đối nhau 
 và là hai góc kề bù .
Ta có : 
Ta có và là hai góc có chung cạnh , hai cạnh còn lại và là hai tia đối nhau 
 và là hai góc kề bù: 
c) Ta có tia và tia cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng 
mà 	
Suy ra tia nằm giữa hai tia và 	
	(4)
Từ (3) và (4) là tia phân giác của .
Bài 12:
Cho hai đường thẳng và cắt nhau tại . Biết .
a) Tính các góc 
b) Vẽ tia phân giác của góc và tia phân giác của góc . Hai tia và có phải là hai tia đối nhau không?
Lời giải
a) Ta có: (đối đỉnh)
Mặt khác ta cũng có:
 (bù nhau), do đó: (đối đỉnh)
b) Oc, Oc’ theo thứ tự là các tia phân giác của hai góc aOb và a’Ob’ nên 
 và 
mà . Do đó: 
Suy ra: góc là góc bẹt hay hai tia và là hai tia đối nhau. 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
Vẽ tia phân giác của các góc được cho dưới đây:
Lời giải
Áp dụng cách vẽ ta có các tia phân giác là: 
Bài 2:
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia , vẽ tia , sao cho , .
a) Trong ba tia , , thì tia nào nằm giữa hai tia còn lại? Vì sao?
b) So sánh góc và góc .
c) Tia có phải là tia phân giác của góc không? Vì sao?
Lời giải
a) Vì , nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia , mà (do ) nên tia nằm giữa hai tia và .
b) Theo tính chất cộng góc ta có
Suy ra .
c) Do tia nằm giữa hai tia và lại có nên là phân giác của . 
Bài 3:
Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia , vẽ   ;  .
a) Tính 
b) Chứng tỏ tia là tia phân giác   .
c) Vẽ tia là tia đối của tia . Tính 
Lời giải
Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia ta có :  
Suy ra tia nằm giữa hai tia và.  
Hay  
Ta có: tia nằm giữa hai tia và  
Suy ra tia là tia phân giác .
Vẽ tia là tia đối của tia (gt)   là hai góc kề bù.
 hay  
Bài 4:
Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy và Ot sao cho 
a) Tính Tia Oy có là tia phân giác của không? Vì sao?
b) Gọi tia là tia đối của tia .Tính số đo của 
c) Gọi là tia phân giác của . Tính số đo của 
Lời giải
a) Vì Tia nằm giữa hai tia và 
Vậy không là tia phân giác của vì: 
b) Vì tia là tia đối của tia nên tia nằm giữa hai tia và 
suy ra: 
Vậy 
c) Vì là tia phân giác của nên mà tia nằm giữa hai tia và nên ta có: . 
Vậy 
Bài 5:
Cho Bên trong vẽ tia sao cho và vẽ tia sao cho 
a) So sánh số đo các và .
b) Gọi là tia phân giác của . Chứng tỏ cũng là tia phân giác của .
Lời giải
a) Theo tính chất cộng góc, ta có: 
Vậy 
b) Vì là tia phân giác của 
nên: 
Từ đó, ta có 
Mặt khác, 
Do đó, (cùng bằng 30°).
Vậy cũng là tia phân giác của .
Bài 6:
Vẽ hai góc kề bù và , biết Vẽ là tia phân giác của .
a) Tính số đo và 
b) Tính số đo .
Lời giải
a) Sử dụng tính chất hai góc kề bù, suy ra 
Vì là tia phân giác của nên 
b) Ta có Từ đó, suy ra 
Bài 7:
Cho góc . Vẽ tia là tia phân giác của . Vẽ tia là tia phân giác của . Vẽ tia là tia phân giác của 
a) Chứng tỏ tia là tia phân giác của 
b) Chứng tỏ .
c) Tính giá trị lớn nhất của góc .
Lời giải
a) Theo tính chất tia phân giác của một góc, ta có:
	 (1)
Từ đó, suy ra Mặt khác, và cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ chứa tia cùng thuộc nửa mặt phẳng còn lại. 
Do đó, tia nằm giữa hai tia và . Vậy tia là tia phân giác của 
b) Từ (1), ta suy ra Do đó, 
c) Từ ý a), suy ra 
Kết hợp với ý b), ta có 
Mà góc có số đo lớn nhất bằng (góc bẹt) nên góc có số đo lớn nhất bằng Nên