Giáo án ôn tập Hình học 7 (Kết nối tri thức với cuộc sống) - Chuyên đề: Định lí. Chứng minh định lí

CHUYÊN ĐỀ: ĐỊNH LÍ. CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ
A. Lý thuyết
1. Định lí: Giả thiết và kết luận của định lí:
Định lí là một khẳng định được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết. Mỗi định lí thường được phát biểu dưới dạng: “ Nếu  thì ”
Phần giữa từ “nếu” và từ “thì” là giả thiết của định lí.
Phần sau từ “thì” là kết luận của định lí.
2. Thế nào là chứng minh định lí
Chứng minh một định lí là dùng lập luận để từ giả thiết và những khẳng định đúng đã biết để suy ra kết luận của định lí.
B) Các dạng toán
Dạng 1: Xác định giả thiết và kết luận của định lí
I. Phương pháp giải:
Mỗi định lí thường được phát biểu dưới dạng: “ Nếu  thì ”
Phần giữa từ “nếu” và từ “thì” là giả thiết của định lí.
Phần sau từ “thì” là kết luận của định lí.
II. Bài toán.
Bài 1:
Hãy nêu giả thiết và kết luận của định lí sau: “ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau”
Lời giải
Giải thiết là: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba 
Kết luận là: chúng song song với nhau.
Bài 2:
Hãy phát biểu phần còn thiếu của giả thiết trong định lí sau: “ Hai góc ... thì bằng nhau”
Lời giải
Phần thiếu là: đối đỉnh 
Bài 3:
Hãy phát biểu phần còn thiếu của kết luận trong định lí sau: “ Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì ...”
Lời giải
Phần thiếu là: chúng song song với nhau.
Bài 4:
Vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận của định lí : “ Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau”
Lời giải
GT
 cắt và ;
KL
Bài 5:
Hãy phát biểu định lí được diễn tả bằng hình vẽ sau: 
Lời giải
Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng phân biệt . Và trong các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị bằng nhau thì và song song với nhau.
Bài 6:
Vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận của định lí : “ Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông ”
Lời giải
GT
 và kề bù
 là tia phân giác của 
 là tia phân giác của 
KL
Bài 7:
Phần giả thiết: 
 (tham khảo hình vẽ) là của định lý nào ?
Lời giải
Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành hai góc trong cùng phía bù nhau thì hai đường thẳng đó song song.
Bài 8:
Định lí “ Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” có định lí đảo không ? Vẽ hình minh họa.
Lời giải
Định lí “ Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” không có định lí đảo .
Hai góc bằng nhau nhưng không đối đỉnh.
Bài 9:
Phát biểu định lí đảo của định lí sau: “ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song nhau”
Lời giải
Định lí đảo “ Hai đường thẳng phân biệt song song nhau thì chúng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba”
Bài 10:
Cho hình vẽ với GT và LK sau. Có thể rút ra định lí nào.
Lời giải
GT
, 
 là phân giác của 
 là phân giác của 
KL
Định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì góc tạo bỡi hai tia phân giác của hai góc trong cùng phía là một góc vuông.
Bài 11:
Cho định lí: “Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó”, kết luận của định lí ứng với hình vẽ dưới đây là:
Lời giải
Kết luận là: b đi qua A
Bài 12:
Cho định lí: “Nếu một góc có hai cạnh là hai tia phân giác của hai góc kề bù thì đó là góc vuông”, kết luận của định lí ứng với hình vẽ dưới đây là:
Lời giải
Kết luận là: 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
Hãy chỉ ra giả thiết và kết luận của định lí sau:
“ Nếu là trung điểm của đoạn thẳng thì 
Lời giải
Giải thiết là: là trung điểm của đoạn thẳng 
Kết luận là: .
Bài 2:
Điền vào chỗ trống để được định lí đúng:
Nếu là tia phân giác của thì...
Lời giải
Nếu là tia phân giác của thì 
Bài 1:
Xác định giả thiết và kết luận của định lý sau:
“ Nếu hai góc và có một góc nhọn, một góc tù và , thì ”
Lời giải
Giả thiết: hai góc và có một góc nhọn, một góc tù và , 
Kết luận: 
Bài 3:
Cho hình vẽ với GT và LK sau. Có thể rút ra định lí nào.
GT
, 
 là phân giác của 
 là phân giác của 
KL
Lời giải
Định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì góc tạo bỡi hai đường phân giác của hai góc ngoài cùng phía là một góc vuông.
Dạng 2: Chứng minh định lí
I. Phương pháp giải:
Chứng minh một định lí là dùng lập luận để từ giả thiết và những khẳng định đúng đã biết để suy ra kết luận của định lí.
II. Bài toán.
Bài 1:
Chứng minh định lí là gì ?
Lời giải
Chứng minh một định lí là dùng lập luận để từ giả thiết và những khẳng định đúng đã biết để suy ra kết luận của định lí.
Bài 2:
Chọn đáp án đúng nhất trong các phát biểu sau:
Khi chứng minh một định lí người ta cần: 
a) Chứng minh định lí đó đúng trong một trường hợp cụ thể của giả thiết.
b) Chứng minh định lí đó đúng trong hai trường hợp cụ thể của giả thiết.
c) Chứng minh định lí đó đúng trong mọi trường hợp có thể xảy ra của giả thiết.
d) Chứng minh định lí đó đúng trong vài trường hợp cụ thể của giả thiết.
Lời giải
c) Chứng minh định lí đó đúng trong mọi trường hợp có thể xảy ra của giả thiết.
Bài 3:
Phát biểu sau có phải là một định lí . “Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng cắt nhau thì song song với đường thẳng kia”
Lời giải
Không
Bài 4:
Diễn đạt bằng lời định lí sau:
Lời giải
Nếu hai đường thẳng bị một đường thẳng thứ ba cắt và chúng tạo thanh một cặp góc trong cùng phai bù nhau thì hai đường thẳng đó song song với nhau
Bài 5:
Hãy sắp xếp các ý sau để hoàn thiện bài toán chứng minh định lí “ Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
1/ Và ( vì kề bù)
2/ Vậy 
3/ Có: ( vì kề bù)
4/ Suy ra : 
Lời giải
3/ Có: ( vì kề bù)
1/ Và ( vì kề bù)ID 05 072022 CDCB 7 STT55
4/ Suy ra : 
2/ Vậy 
Bài 6:
Cho là tia phân giác của . Vẽ song song với , và là hai góc so le trong. Chứng minh rằng 
Lời giải
Chứng minh:
Có: ( vì là tia phân giác của )
 ( vì hai góc so le trong, )
Từ (1) và (2) suy ra 
Bài 7:
Cho hình vẽ biết và . Chứng minh rằng 
Lời giải
Có 
Và có vị trí so le trong.
Do đó: 
Lại có 
Vậy 
Bài 8:
Ghi giả thiết kết luận và chứng minh định lý “ Hai góc cùng phụ với một góc thứ ba thì bằng nhau”
Lưu ý hai góc phụ nhau có tổng số đo bằng 
Lời giải
GT
, 
KL
Chứng minh: 
Ta có 
Suy ra 
Do đó 
Vậy “Hai góc cùng phụ với một góc thứ ba thì bằng nhau”
Bài 9:
Chứng minh định lí sau: “ Hai tia phân giác của hai góc đối đỉnh là hai tia đối nhau”
Lời giải
Ta có: 
 ( vì đối đỉnh)
Vậy và là hai tia đối nhau
Bài 10:
Chứng minh rằng nêu hai góc nhọn có và thì 
Lời giải
GT
 nhọn
KL
Chứng minh:
Vẽ tia , ta có:
 ( vì đồng vị , )
 ( vì đồng vị , )
Suy ra 
Vậy 
Bài 11:
Chứng minh rằng: Nếu ba điểm A,B,C thẳng hàng và A không nằm giữa B và C thì khoảng cách từ điểm A đến trung điểm M của đoạn thẳng BC bằng nửa tổng của hai đoạn thẳng AB và AC, tức là
Lời giải
GT
Ba điểm A,B,C thẳng hàng và A không nằm giữa B và C
M là trung điểm của đoạn thẳng BC
KL
Vì điểm không nằm giữa hai điểm và nên có hai trường hợp:
Trường hợp 1: điểm nằm giữa hai điểm và 
Khi đó 
Và 
 ( Vì là trung điểm của )
Trường hợp 2: điểm nằm giữa hai điểm và 
Khi đó 
Và 
 ( Vì là trung điểm của )
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 12:
Cho hai góc kề bù và . Gọi là tia phân giác của . Trong góc vẽ tia vuông góc với tia . Chứng minh rằng là tia phân giác của 
Lời giải
GT
 và kề bù.
 là tia phân giác của 
Trong góc vẽ tia vuông góc với tia .
KL
Chứng minh rằng là tia phân giác của 
Có 
Và ( vì là tia phân giác của )
Suy ra 
Vậy là tia phân giác của 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:
Phát biểu định lí đảo của định lí: “ Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông”
Lời giải
Góc tạo bỡi hai tia phân giác của hai góc kề nhau là góc vuông thì hai góc đó là hai góc kề bù.
Bài 2:
Hãy sắp xếp các ý sau để hoàn thiện bài toán chứng minh định lí “ Góc tạo bỡi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông”
1/ Do đó 
2/ (vì OM là tia phân giác của )
3/ (Vì ON là tia phân giác của )
4/ 
Lời giải
Sắp xếp
2/ ( vì OM là tia phân giác của )
3/ ( vì ON là tia phân giác của )
4/ 
1/ Do đó 
Bài 3:
Hãy vẽ hình nêu giả thiết và kết luận và chứng minh bài toán sau: “ Cho là tia phân giác của . Gọi là góc đối đỉnh của . Chứng minh rằng ”
Lời giải
GT
là tia phân giác của . 
 đối đỉnh với 
KL
Chứng minh:
Có: ( vì là tia phân giác của )
 ( vì hai góc đối đỉnh)
Từ (1) và (2) suy ra 
Bài 4:
Chứng minh rằng nêu hai góc tù có và thì 
Lời giải
GT
 tù
KL
Vẽ tia , ta có:
 ( vì đồng vị , )
 ( vì đồng vị , )
Suy ra 
Vậy