Giáo án ôn tập Toán 7 (Cánh diều) - Chương VII: Biểu thức đại số và đa thức một biến

CHƯƠNG VII. BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ ĐA THỨC MỘT BIẾN
Bài 1. BIỂU THỨC ĐẠI SỐ.
A. LÝ THUYẾT.
1) Biểu thức đại số.
Ví dụ 1: Với các biểu thức 
	b) 	c) 
Các biểu thức trên đều được gọi là các biểu thức
Biểu thức câu a không có chữ nên gọi là biểu thức số.
Biểu thức câu b và c có các chữ x và y, khi đó x, y gọi là các biến số và đại diện cho một số nào đó.
Để đơn giản khi viết biểu thức đại số thì phép nhân của một số với chữ có thể viết tắt như 
sau:
	 hoặc hoặc 
2) Giá trị của biểu thức đại số.
Ví dụ 2: Cho biểu thức đại số .
	Khi thì giá trị của biểu thức 
Kết luận:
Để tính giá trị của một biểu thức đại số có chứa biến, ta thay giá trị cho trước của biến vào biểu thức rồi thực hiện phép tính.
Ví dụ 3: Bác nông dân sử dụng chiếc máy bơm nước để bơm nước vào ao cá. Chiếc máy bơm thứ nhất cứ mỗi giờ bơm được nước, còn máy bơm thứ hai mỗi giờ bơm được nước.
Viết biểu thức lượng nước bơm được khi máy bơm thứ nhất bơm trong giờ, còn máy bơm thứ hai bơm được giờ.
Sử dụng kết quả câu a, để tính lượng nước bơm được khi giờ và giờ.
Lượng nước bơm được của máy thứ nhất khi chạy trong giờ là 
Lượng nước bơm được của máy thứ hai khi chạy trong giờ là 
Biểu thức thể hiện lượng ước bơm được khi là 
Khi thay vào biểu thức ta được 
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
 tại 
 tại 
 tại 
 tại 
 tại 
 tại 
 tại .
 tại .
 tại 
Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
 tại 
 tại 
 tại 	
 tại 
 tại 
 tại 
 tại 
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau:
 tại 	
 tại 
 tại 
 tại 
 tại 
 tại 
 tại 
 tại 
 tại 
 tại 
 tại .
 tại .
Bài 4: Tính giá trị của các biểu thức sau:
 tại 
 tại 
 tại 
 tại 	
 tại 
 tại 
 tại 
 tại 
 tại .
 tại .
 tại .
 tại .
Bài 5: Tính giá trị của các biểu thức sau:
 tại 
 tại 
 tại .
 tại 
Bài 6: Tính giá trị của các biểu thức sau:
 tại 
 tại 
 tại 
 tại 
Bài 7: Tìm giá trị của biến để biểu thức sau nhận giá trị bằng 
Bài 8: Tìm giá trị của biến để biểu thức sau nhận giá trị bằng 
Bài 2. ĐA THỨC MỘT BIẾN.
A. LÝ THUYẾT.
1) Đơn thức một biến.
Ví dụ 1: Các biểu thức ; ; đều là tích một số với một lũy thừa của nên gọi là đơn thức một biến.
Kết luận:
Đơn thức một biến ( đơn thức) là biểu thức đại số có dạng tích của một số thực với mội lũy thừa của biến, trong đó số thực gọi là hệ số, số mũ của biến gọi là bậc của đơn thức.
Cụ thể: thì hệ số là còn bậc là .
Mỗi số khác cũng là một đơn thức bậc .
Số cũng là một đơn thức, đơn thức này không có bậc.
2) Cộng, trừ, nhân các đơn thức một biến.
Ví dụ 2: Tính 
Ví dụ 3: Tính 
Ví dụ 4: Tính 
Kết luận:
Ta chỉ có thể cộng trừ các đơn thức cùng bậc bằng cách cộng hay trừ các hệ số và giữ nguyên biến.
Khi nhân các đơn thức ta nhân phần hệ số với nhau, phần biến với nhau.
3) Đa thức một biến.
Đa thức một biến gọi tắt là đa thức là tổng của những đơn thức của cùng một biến, mỗi đơn thức gọi là một hạng tử của đa thức đó. Mỗi đơn thức cũng là một đa thức.
Số cũng được gọi là một đa thức, gọi là đa thức không.
Đa thức thường được kí hiệu bởi các chữ cái in hoa và kèm thêm kí hiệu biến.
Cụ thể thể hiện là đa thức của biến .
Ví dụ 5: Đa thức là một đa thức, đa thức này có hạng tử.
Ví dụ 6: Cho đa thức 
	Nhận thấy trong đa thức có hai hạng tử có cùng bậc là và , và 
	Nên đa thức là đa thức chưa rút gọn. Để rút gọn thì ta đi tính các hạng tử cùng bậc, 
cụ thể .
	Ngoài ra ta nên sắp xếp đa thức theo thứ tự giảm dần lũy thừa của biến
Ví dụ 7: Đa thức 
Ta có thể sắp xếp lại thành 
4) Bậc và hệ số của đa thức một biến.
Ví dụ 8: Cho đa thức là đa thức có bốn hạng tử.
Trong đó hạng tử có lũy thừa cao nhất là , nên đa thức có bậc .
	Hệ số của là , nên gọi là hệ số cao nhất của đa thức .
	Hạng tử 1 không có biến gọi là hệ số tự do.
Kết luận:
Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất.
Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất của đa thức.
Hệ số của hạng tử bậc gọi là hệ số tự do.
Chú ý:
Đa thức không thì không có bậc xác định.
Muốn tìm bậc của một đa thức, ta phải thu gọn đa thức đó rồi mới tìm bậc.
Ví dụ 9: Cho đa thức 
Thu gọn, sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến
Tìm hệ số tự do, hệ số cao nhất của đa thức.
.
Hệ số tự do là , hệ số cao nhất là .
5) Nghiệm của đa thức một biến.
Ví dụ 10: Cho đa thức .
	Khi đó tại thì đa thức nhận giá trị là 
	Kí hiệu .
	Với thì 
	Khi đa thức có giá trị bằng tại , thì gọi là nghiệm của đa thức .
Kết luận:
Tại mà có giá trị bằng thì là một nghiệm của đa thức .
Nhận xét:
Để tìm nghiệm của một đa thức, ta cho đa thức đó bằng , chuyển về bài toán tìm 
Một đa thức có thể không có nghiệm hoặc có nhiều nghiệm.
Ví dụ 11: Tìm nghiệm của đa thức 
Cho . Vậy là một nghiệm của đa thức 
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Chỉ ra phần hệ số và bậc của các đơn thức sau
Bài 2: Thực hiện phép tính sau
Bài 3: Thực hiện phép tính sau
Bài 4: Thu gọn và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần lũy thừa của biến
Bài 5: Thu gọn, tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của các đa thức sau
Bài 6: Tìm nghiệm của các đa thức sau
Bài 7: Tìm nghiệm của các đa thức sau
Bài 8: Tìm nghiệm của các đa thức sau
Bài 9: Tìm nghiệm của các đa thức sau
Bài 10: Tìm nghiệm của các đa thức sau
Bài 11: Tìm nghiệm của các đa thức sau
Bài 12: Tìm nghiệm của các đa thức sau
Bài 13: Xác định để đa thức sau nhận là nghiệm: .
Bài 14: Xác định để đa thức sau nhận là nghiệm: .
Bài 15: Xác định để đa thức sau nhận là nghiệm: .
Bài 16: Xác định để đa thức sau nhận là nghiệm: . 
Bài 17: Xác định để đa thức sau nhận là nghiệm: .
Bài 18: Xác định để đa thức sau nhận là nghiệm: .
Bài 19: Xác định để đa thức sau nhận là nghiệm: . 
Bài 20: Xác định để đa thức sau nhận – 3 là nghiệm: . 
Bài 21: Xác định để đa thức sau nhận – 2 là nghiệm: .
Bài 22: Xác định để đa thức sau nhận – 4 là nghiệm: .
Bài 23: Xác định để đa thức sau nhận – 4 là nghiệm: .
Bài 3. CỘNG, TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN.
A. LÝ THUYẾT.
1) Cộng hai đa thức một biến.
Ví dụ 1: Cho hai đa thức và 
Khi đó 
	.
Chú ý:
Phép cộng đa thức cũng có tính chất như: Giao hoán, Kết hợp.
2) Trừ hai đa thức một biến.
Ví dụ 2: Cho hai đa thức và 
Khi đó
	.
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Cho và 
Tính 
Tính 
Bài 2: Cho và 
Tính 
Tính 
Bài 3: Cho và 
Tính 
Tính 
Bài 4: Cho và 
Tính và 
Tính 
Tính .
Bài 5: Cho và 
Tính và .
Tính giá trị của đa thức tại .
Bài 6: Cho và 
Hãy sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.
Tính và .
Bài 7: Cho và 
Sắp xếp các đa thức và .
Tính 
Tính .
Bài 8: Cho và 
Sắp xếp các đa thức và .
Tính 
Tính 
Bài 9: Cho và . 
Tính 
Tính 
Bài 10: Cho và 
Tính 
Tính 
Bài 11: Cho và 
Thu gọn và sắp xếp đa thức và .
Tính 
Tính 
Bài 12: Cho và 
Thu gọn và sắp xếp 
Tính 
Tính 
Bài 13: Cho và 
Thu gọn và sắp xếp hai đa thức và .
Tính 
Tính 
Bài 14: Cho và 
Thu gọn và sắp xếp hai đa thức và .
Tính 
Tính 
Bài 15: Cho và 
Sắp xếp và thu gọn hai đa thức và .
Tính 
Tính 
Bài 16: Cho và 
Tính 
Tính 
Bài 17: Cho , và 
Tính 
Tính 
Bài 18: Cho , và 
Tính 
Tính 
Bài 19: Cho , và 
Tính .	
Tính
Bài 20: Cho , và 
Tính 
Tính 
Bài 21: Cho , và 	
Tính 
Tính 
Bài 22: Cho , , 
Tính 	
Tính 	
Tính 
Bài 23: Cho , và . 
Tính 	
Tính 	
Tính 
Bài 4. PHÉP NHÂN ĐA THỨC MỘT BIẾN.
A. LÝ THUYẾT.
1) Nhận đơn thức với đa thức.
Ví dụ 1: Tính 
	.
Kết luận:
Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức, rồi cộng các tích với nhau.
Ví dụ 2: Tính 
	.
2) Nhân đa thức với đa thức.
Ví dụ 3: Tính 
Kết luận:
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với tứng hạng tử của đa thức kia.
Phép nhân đa thức cũng có tính chất giao hoán và kết hợp.
Ví dụ 4: Tính 
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Thực hiện phép tính
Bài 2: Thực hiện phép tính
Bài 3: Thực hiện phép tính
 Bài 4: Thực hiện phép tính
Bài 5: Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
Bài 6: Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
Bài 7: Tìm biết
Bài 8: Tìm biết
Bài 5. PHÉP CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN.
A. LÝ THUYẾT.
1) Làm quen với phép chia đa thức
Ví dụ 1: Với hai đơn thức và nhận thấy rằng 
	Nên ta có thể viết 
Kết luận:
Cho hai đa thức và với . Nếu có một đa thức sao cho thì ta có phép chia hết: hay . 
Trong đó: 	 là đa thức bị chia 
 là đa thức chia 
 là đa thức thương.
Muốn chia hai đơn thức một biến, ta chia phần hệ số với nhau, phần biến với nhau.
Ví dụ 2: Tính .
2) Chia đa thức cho đa thức.
Ví dụ 3: Đặt tính chia 
	Lấy hạng tử bậc cao nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất.
	Rồi thực hiện theo sự hướng dẫn của giáo viên.
Chú ý:
Khi chia đa thức cho một đơn thức thì ta không cần đặt tính chia.
Ví dụ 4: Tính 
	.
3) Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia có dư.
Ví dụ 5: Tính 
Bài làm:
Vậy 
 ( dư ).
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Thực hiện phép tính
Bài 2: Thực hiện phép tính
Bài 3: Đặt tính rồi tính
Bài 4: Đặt tính rồi tính
Bài 5: Tìm hệ số a để