Giáo án ôn tập Hình học 7 (Kết nối tri thức với cuộc sống) - Chuyên đề 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến

CHUYÊN ĐỀ 34.1. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN, PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
Đường trung tuyến của một tam giác
A
Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của

B	M	C
DABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung
tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC ) của DABC .
Đường thẳng AM cũng gọi là đường trung tuyến của
Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.
Tính chất đồng quy của ba đường trung tuyến
DABC .
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm (hay đồng quy tại một điểm). Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.
Vị trí của trọng tâm:
Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2
3

độ dài đường trung tuyến đi
qua đỉnh ấy:
AG = BG = CG = 2
AD	BE	CF	3
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác
Phương pháp giải:
Sử dụng linh hoạt các tỉ số liên quan đến trọng tâm tam giác.
Bài toán.
Bài 1. Chọn câu sai:
Trong một tam giác có ba đường trung tuyến.
Các đường trung tuyến của tam giác cắt tại một điểm.
Giao của ba đường trung tuyến của một tam giác gọi là trọng tâm của tam giác đó.
Một tam giác có hai trọng tâm.
Lời giải
Bài 2. Điền số thích hợp vào chỗ trống: “Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng  độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy”
2 . 3
Lời giải
3 . 2
C. 3.	D. 2.
Bài 3. Cho hình vẽ sau. Tính tỉ số BG ?
BE
A
F
E
G
B	D	C
Lời giải
?
Bài 4. Cho hình vẽ sau.Tình tỉ số AG
GD
F
E
G
A
Lời giải

B	D	C
Bài 5. Tam giác ABC có trung tuyến
Lời giải
AM = 9cm
và trọng tâm G . Tính độ dài đoạn AG ?
Bài 6. Cho
DABC, BC
= a, CA
= b, AB
= c.
Kẻ trung tuyến
AM . Đặt AM
= ma .
Chứng minh rằng
b + c - a < m
< b + c
2	a	2
Lời giải
Bài 7. Cho
DABC có hai đường trung tuyến
BD, CE
Tính các tỉ số
BG , CG BD CE
Chứng minh . BD
Lời giải

CE
3 BC .
2
Bài 8. Cho
DABC có
BC =
8 cm , các đường trung tuyến
BD, CE cắt nhau tại G . Chứng
minh BD
CE
12 cm .
Lời giải
Bài 9. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BP, CQ cắt nhau tại G . Trên tia đối của
tia . PB . lấy điểm E sao cho PE = PG . Trên tia đối của tia QG lấy điểm F sao cho
QF = QG . Chứng minh:
GB
= GE, GC
= GE ;	b) EF
= BC và
EF / /BC .
Lời giải
Bài 10.	Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD, BE cắt nhau tại G . Trên tia
đối của tia DG lấy điểm M sao cho D là trung điểm của đoạn thẳng
EG lấy điểm N sao cho E là trung điểm GN . Chứng minh:
MG. Trên tia đối của tia
GN
= GB, GM
= GA;
AN
= MB và AN
/ / MB .
Lời giải
Dạng 2. Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác
Phương pháp giải:
Để chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác, ta có thể dùng một trong hai cách sau:
+ Chứng minh điểm đó là giao điểm của hai đường trung tuyến trong tam giác.
+ Chứng minh điểm đó thuộc mộtđường trung tuyến của tam giác và thỏa mãn một trong các tỉ lệ về tính chất trọng tâmcủa tam giác.
Bài toán.
Bài 1. Cho hai đường thẳng
xx ' và yy ' cắt nhau tại O. Trên tia Ox lấy hai điểm
A, B sao cho
A nằm giữa O và B, AB = 2OA. Trên yy ' lấy hai điểm L và M sao cho O là trung điểm của
LM . Nối B với
L, B với M và gọi P là trung điểm của đoạn
MB, Q là trung điểm của đoạn
LB . Chứng minh rằng các đoạn thẳng LP và MQ đi qua A .
Lời giải
Bài 2. Cho
DABC
với đường trung tuyến AD . Trên tia AD lấy điểm E sao cho AD
= DE ,
trên tia BC lấy điểm M sao cho BC
Lời giải
= CM . Chứng minh C là trọng tâm của D AEM .
Bài 3. Cho
DABC . Trên đường trung tuyến AM của tam giác đó, lấy hai điểm
D, E sao cho
AD = DE
= EM . Chứng minh E là trọng tâm của
DABC .
Lời giải
Bài 4. Cho
DABC . Vẽ trung tuyến BM . Trên tia BM lấy hai điểm
G, K sao cho
BG = 2 BM
3
và G là trung điểm của BK . Gọi E là trung điểm CK; GE cắt AC tại I . Chứng minh: I là
trọng tâm của
Lời giải
DKGC .
Dạng 3. Vấn đề đường trung tuyến trong tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều
Phương pháp giải:
Chú ý những tính chất của tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều.
Bài toán.
Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A , trung tuyến AM . Chứng minh rằng AM vuông góc với
BC .
Lời giải
Bài 2. Cho
DABC
có các đường trung tuyến BD và CE bằng nhau. Chứng minh rằng
DABC là
tam giác cân.
Lời giải
Bài 3. Cho tam giác
ABC,
đường trung tuyến Gọi K là trung điểm của
BM . Trên tia đối của
tia lấy KA điểm E sao cho KE = KA.
Điểm M là trọng tâm của tam giác nào? Vì sao?
Gọi F là trung điểm của CE. Chứng minh rằng ba điểm
Lời giải

A, M , F thẳng hàng.
Bài 4. Cho
DABC
vuông tại A , trung tuyến AM . Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho
MD = MA .
Tính ABD
Chứng minh
DABD
= DBAC .
Chứng minh AM
Lời giải
= 1 BC
2
Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác
Bài 1. Cho hình 1. Điền số thích hợp vào chỗ trống :
GD = ...BD; AG = ...GE;	C
D
E
G
GD = ...BG; AE = ...AG;
AE = ...GE.
A
B
Hình 1
Bài 2. Cho tam giác ABC , các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G . Cho biết BD < CE . Hãy so sánh GBC và GCB .
Dạng 2. Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác
Bài 1. Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm BM . Trên tia đối của tia IA lấy điểm E sao cho IE = IA .
Điểm M là trọng tâm của tam giác nào?
Gọi F là trung điểm của CE . Chứng minh rằng ba điểm A, M , F thẳng hàng.
Bài 2. Cho
DABC , M là trung điểm AC . Trên đoạn BM lấy điểm K sao cho KM
= 1 KB .
2
Điểm H thuộc tia đối của tia MK sao cho BH = 2BK . Gọi I là điểm thuộc cạnh AC và
IC = 1 CA . Đường KI cắt HC ở E .
3
Chứng minh I là trọng tâm của DHKC và E là trung điểm của HC .
Tính các tỉ số
IE , IC

. Chứng minh ba điểm

H , I , F thẳng hàng ( I là trung điểm KC )
IK MC
Bài 3. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Gọi

M , N lần
lượt là trung điểm của minh:
BC, CD . Đoạn thẳng
AM , AN cắt BD lần lượt tại I và K . Chứng
I là trọng tâm của
DABC
và K là trọng tâm của D ADC ;
BI
= IK
= KD .
Bài 4. Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BD . Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho
DE =
BD . Gọi
P, Q lần lượt là điểm trên BE sao cho BP
= PQ
= QE . Chứng minh:
CP, CQ cắt
AB, AE tại trung điểm của
AB, AE .
CP / / AQ và CQ / / AP .
Dạng 3. Vấn đề đường trung tuyến trong tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều
Bài 1. Cho tam giác . ABC . cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho
DAE = ABD.
Chứng minh rằng
DAE = ECB.
Bài 2. Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD và CE bằng nhau. Chứng minh rằng :
DABC là tam giác cân.
Bài 3. Cho
DABC
có ba đường trung tuyến
AM , BN, CP	cắt nhau tại	G . Biết
AM = BN
= CP . Chứng mình
DABC đều.
Bài 4. Cho
DABC
có ba đường trung tuyến
AM , BN, CP	cắt nhau tại G. Biết
AG = BG
= CG . Chứng minh
DABC đều.
ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác Bài 1.
Bài 2.
Dạng 2 . Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác
Bài 1.
Bài 2.
Bài 3.
Bài 4.
Dạng 3. Vấn đề đường trung tuyến trong tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều Bài 1.
Bài 2.
Bài 3.
Bài 4.
PHIẾU BÀI TẬP
Dạng 1. Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác Bài 1. Chọn câu sai:
Trong một tam giác có ba đường trung tuyến.
Các đường trung tuyến của tam giác cắt tại một điểm.
Giao của ba đường trung tuyến của một tam giác gọi là trọng tâm của tam giác đó.
Một tam giác có hai trọng tâm.
Bài 2. Điền số thích hợp vào chỗ trống: “Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng  độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy”
2 . 3
3 . 2
C. 3.	D. 2.
Bài 3. Cho hình vẽ sau. Tính tỉ số BG ?
BE
A
F
E
G
B	D	C
?
Bài 4. Cho hình vẽ sau.Tình tỉ số AG
GD
A
F
E
G
B
Bài 5. Tam giác ABC có trung tuyến

D
AM = 9cm

C
và trọng tâm G . Tính độ dài đoạn AG ?
Bài 6. Cho
DABC, BC
= a, CA
= b, AB
= c.
Kẻ trung tuyến
AM. Đặt AM
= ma .
Chứng minh rằng
b + c - a < m < b + c
2	a	2
Bài 7. Cho
DABC có hai đường trung tuyến
BD, CE
Tính các tỉ số
BG , CG BD CE
Chứng minh BD
CE
3 BC
2
Bài 8. Cho
DABC có
BC =
8 cm , các đường trung tuyến
BD, CE cắt nhau tại G . Chứng
minh BD
CE
12 cm .
Bài 9. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BP, CQ cắt nhau tại G . Trên tia đối của
tia PB lấy điểm E sao cho PE = PG . Trên tia đối của tia QG lấy điểm F	sao cho
QF = QG . Chứng minh:
GB
= GE, GC
= GE ;	b) EF
= BC và
EF / /BC .
Bài 10.	Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD, BE cắt nhau tại G . Trên tia
đối của tia DG lấy điểm M sao cho D là trung điểm của đoạn thẳng
EG lấy điểm N sao cho E là trung điểm GN . Chứng minh:
MG. Trên tia đối của tia
GN
= GB, GM
= GA;
AN
= MB và AN
/ / MB .
Bài 11. Cho hình 1. Điền số thích hợp vào chỗ trống :
GD = ...BD; AG = ...GE;	C
D
E
G
GD = ...BG; AE = ...AG;
AE = ...GE.
A
B
Hình 1
Bài 12. Cho tam giác ABC , các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G . Cho biết
BD < CE . Hãy so sánh GBC và GCB .
Dạng 2.Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác
Bài 1. Cho hai đường thẳng
xx ' và yy ' cắt nhau tại O. Trên tia Ox lấy hai điểm
A, B sao cho
A nằm giữa O và B, AB = 2OA. Trên yy ' lấy hai điểm L và M sao cho O là trung điểm của
LM . Nối B với
L, B với M và gọi P là trung điểm của đoạn
MB, Q là trung điểm của đoạn
LB . Chứng minh rằng các đoạn thẳng LP và MQ đi qua A .
Bài 2. Cho
DABC
với đường trung tuyến AD . Trên tia AD lấy điểm E sao cho AD
= DE ,
trên tia BC lấy điểm M sao cho BC = CM . Chứng minh C là trọng tâm của D AEM .
Bài 3. Cho
DABC . Trên đường trung tuyến AM của tam giác đó, lấy hai điểm
D, E sao cho
AD = DE
= EM . Chứng minh E là trọng tâm của
DABC .
Bài 4. Cho

DABC . Vẽ trung tuyến BM . Trên tia BM lấy hai điểm

G, K sao cho
BG = 2 BM
3
và G là trung điểm của BK . Gọi E là trung điểm CK; GE cắt AC tại I . Chứng minh: I là
trọng tâm của DKGC .
Bài 5. Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm BM . Trên tia đối của tia IA lấy điểm E sao cho IE = IA .
Điểm M là trọng tâm của tam giác nào?
Gọi F là trung điểm của CE . Chứng minh rằng ba điểm A, M , F thẳng hàng.
Bài 6. Cho
DABC , M là trung điểm AC . Trên đoạn BM lấy điểm K sao cho KM
= 1 KB .
2
Điểm H thuộc tia đối của tia MK sao cho BH = 2BK . Gọi I là điểm thuộc cạnh AC và
IC = 1 CA . Đường KI cắt HC ở E .
3
Chứng minh I là trọng tâm của DHKC và E là trung điểm của HC .
Tính các tỉ số
IE , IC

. Chứng minh ba điểm

H , I , F thẳng hàng ( I là trung điểm KC )
IK MC
Bài 7. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Gọi M , N lần
lượt là trung điểm của minh:
BC, CD . Đoạn thẳng
AM , AN cắt BD lần lượt tại I và K . Chứng
I là trọng tâm của
DABC
và K là trọng tâm của D ADC ;
BI
= IK
= KD .
Bài 8. Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BD . Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho
DE =
BD . Gọi
P, Q lần lượt là điểm trên BE sao cho BP
= PQ
= QE . Chứng minh:
CP, CQ cắt
AB, AE tại trung điểm của
AB, AE .
CP // AQ và CQ // AP .
Dạng 3. Vấn đề đường trung tuyến trong tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A , trung tuyến AM . Chứng minh rằng AM vuông góc với
BC .
Bài 2. Cho
DABC
có các đường trung tuyến BD và CE bằng nhau. Chứng minh rằng
DABC là
tam giác cân.
Bài 3. Cho tam giác

ABC,

đường trung tuyến

AM. Gọi K là trung điểm của

BM . Trên tia đối
của tia lấy KA điểm E sao cho KE = KA.
Điểm M là trọng tâm của tam giác nào? Vì sao?
Gọi F là trung điểm của CE. Chứng minh rằng ba điểm

A, M , F thẳng hàng.
Bài 4. Cho
DABC
vuông tại A , trung tuyến AM . Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho
MD = MA .
Tính ABD
Chứng minh

DABD

= DBAC .
Chứng minh AM
= 1 BC
2
Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho
DAE = ABD.
Chứng minh rằng
DAE = ECB.
Bài 6. Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD và CE bằng nhau. Chứng minh rằng :
DABC là tam giác cân.
Bài 7. Cho
DABC
có ba đường trung tuyến
AM , BN, CP	cắt nhau tại	G . Biết
AM = BN
= CP . Chứng mình
DABC đều.
Bài 8. Cho
DABC
có ba đường trung tuyến
AM , BN, CP	cắt nhau tại G. Biết
AG = BG
= CG . Chứng minh
DABC đều.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác Bài 1. Cho hình 1. Điền số thích hợp vào chỗ trống :
GD = ...BD; AG = ...GE;	C
D
E
G
GD = ...BG; AE = ...AG;
AE = ...GE.
A
B
Hình 1
Bài 2. Cho tam giác ABC , các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G . Cho biết BD < CE
. Hãy so sánh GBC và GCB .
Dạng 2. Chứng minh một điểm là trọng tâm của tam giác
Bài 1. Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm BM . Trên tia đối của tia IA lấy điểm E sao cho IE = IA .
Điểm M là trọng tâm của tam giác nào?
Gọi F là trung điểm của CE . Chứng minh rằng ba điểm A, M , F thẳng hàng.
Bài 2. Cho
DABC , M là trung điểm AC . Trên đoạn BM lấy điểm K sao cho KM
= 1 KB .
2
Điểm H thuộc tia đối của tia MK sao cho BH = 2BK . Gọi I là điểm thuộc cạnh AC và
IC = 1 CA . Đường KI cắt HC ở E .
3
Chứng minh I là trọng tâm của DHKC và E là trung điểm của HC .
Tính các tỉ số
IE , IC

. Chứng minh ba điểm

H , I , F thẳng hàng ( I là trung điểm KC )
IK MC
Bài 3. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Gọi

M , N lần
lượt là trung điểm của minh:
BC, CD . Đoạn thẳng
AM , AN cắt BD lần lượt tại I và K . Chứng
I là trọng tâm của
DABC
và K là trọng tâm của D ADC ;
BI
= IK
= KD .
Bài 4. Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BD . Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho
DE =
BD . Gọi
P, Q lần lượt là điểm trên BE sao cho BP
= PQ
= QE . Chứng minh:
CP, CQ cắt
AB, AE tại trung điểm của
AB, AE .
CP//AQ và CQ//AP .
Dạng 3. Vấn đề đường trung tuyến trong tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều
Bài 1. Cho tam giác . ABC . cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho
DAE = ABD.
Chứng minh rằng
DAE = ECB.
Bài 2. Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD và CE bằng nhau. Chứng minh rằng :
DABC là tam giác cân.
Bài 3. Cho
DABC
có ba đường trung tuyến
AM , BN, CP	cắt nhau tại	G . Biết
AM = BN
= CP . Chứng mình
DABC đều.
Bài 4. Cho
DABC
có ba đường trung tuyến
AM , BN, CP	cắt nhau tại G. Biết
AG = BG
= CG . Chứng minh
DABC đều.
CHUYÊN ĐỀ 34.2. BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG MỘT TAM GIÁC
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
Tia phân giác của một góc
+ Định nghĩa tia phân giác của góc: Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau.
+ Đường thẳng chứa tia phân giác của một góc gọi là đường phân giác của góc đó.
+ Mọi điểm trên tia phân giác của một góc cách đều hai cạnh của góc đó. Ngược lại, mọi điểm nằm bên trong góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
x
A
M
z
B
y
O
Đường phân giác của tam giác
Trong tam giác ABC , tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm M thì đoạn thẳng AM
gọi là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của
Mỗi tam giác có ba đường phân giác.
DABC
Tính chất ba đường phân giác của tam giác:
* Định lí: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.
A
K
L
E
F
I
B	H	C
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc
Phương pháp giải:
Sử dụng các tính chất:
+ Giao điểm của hai đường phân giác của hai góc trong tam giác nằm trên đường phân giác của góc thứ ba.
+ Giao điểm của các đường phân giác của một tam giác cách đều ba cạnh của tam giác
+ Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°
Bài toán.
Bài 1. Tìm x trong mỗi hình vẽ sau biết CI và BI là hai phân giác của ACB và ABC , EH và
FH là hai phân giác của DEF và DFE .
Lời giải
Bài 2. Cho
Lời giải
DABC có
A = 120°. Các đường phân giác
AD, BE. Tính số đo góc BED .
Bài 3. Cho
DABC
. Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác kẻ từ góc B và C . Tính số
đo góc BIC	trong các trường hợp:
a) BAC = 80°	b) BAC = 120°
Lời giải
Bài 4. Cho DABC , các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau ở I
Biết
Biết
A = 70° , tính số đo góc BIC .
BIC = 140° , tính số đo góc A .
Lời giải
Bài 5. Cho
DABC
cân tại A . Gọi D là trung điểm của BC ; E và F lần lượt là chân đường
vuông góc kẻ từ D đến
Lời giải
AB, AC . Chứng minh rằng DE = DF .
Bài 6. Cho
DABC có
A = 90° các tia phân giác của B và C cắt nhau tại
. Gọi
D, E là chân
các đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh
AB và AC.
Biết ID = 2cm . Tính IE ?
Biết
ID = x + 3 ,
IE = 2x - 3 . Tìm x ?
Lời giải
Bài 7. Cho
DABC
gọi I là giao điểm của hai tia phân giác góc A và góc
B. Qua I kẻ đường
thẳng song song với BC , cắt AB tại
Lời giải
M , cắt AC tại N. Chứng minh rằng MN = BM + CN