Giáo án ôn tập Hình học 7 (Kết nối tri thức với cuộc sống) - Chuyên đề 15: Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông

CHUYÊN ĐỀ 15. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
Trường hợp hai cạnh góc vuông
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (theo trường hợp cạnh – góc – cạnh).
B	E
A	C	D	F
Trường hợp một cạnh góc vuông và một góc nhọn
Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (theo trường hợp góc – cạnh – góc).
B	E
C	D	F
Trường hợp cạnh huyền và một góc nhọn
Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau ( theo trường hợp g-c-g)
E
C	D	F
Trường hợp cạnh huyền và cạnh góc vuông
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
E
A	C	D	F
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Tìm hoặc chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau
Phương pháp giải:
+) Xét hai tam giác vuông.
+) Kiểm tra các điều kiện bằng nhau cạnh – góc – cạnh, góc – cạnh – góc, cạnh huyền – góc nhọn, cạnh huyền – cạnh góc vuông.
+) Kết luận hai tam giác bằng nhau.
Bài toán.
Bài 1. Tìm các tam giác vuông bằng nhau trên hình dưới đây?
A
D	B
C
Lời giải:
Bài 2. Tìm các tam giác vuông bằng nhau trên hình sau:
C
A
B
D
Lời giải:
Bài 3. Tìm các tam giác vuông bằng nhau trên hình dưới đây?
B
A	C
D
Lời giải:
Bài 4. Tìm các tam giác vuông bằng nhau trên hình sau:
F
E
M
N
Lời giải:
Bài 5. Cho hình vẽ sau:
D
E
A
Chứng minh rằng:
B	H	C
DABH = DACH ;
DADH = DAEH ;
DDBH = DECH .

Lời giải:
Bài 6. Cho xOy . Tia Oz là tia phân giác xOy . Lấy điểm A thuộc tia Oz ( A ¹ O) . Kẻ AB
vuông góc với Ox, AC vuông góc với Oy (B ÎOx, CÎOy) . Chứng minh
Lời giải:
Bài 7. Cho hình vẽ sau. Tìm các tam giác vuông bằng nhau trên hình?
DOAB
= DOAC .
A
F
G
B	D	E	C
Lời giải:
Bài 8. Cho tam giác ABC có AB = AC . Gọi D là trung điểm của cạnh BC . Kẻ DE ^ AB ,
DF ^ AC . Chứng minh:
DDEB = DDFC ;
DDEA = DDFA .
Lời giải:
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = AC . Qua A kẻ đường thẳng d cắt BC . Vẽ
BM ,CN vuông góc với d . Chứng minh rằng : DBAM = DACN .
Lời giải:
Bài 10. Cho

DABC
có B = C . Trên tia đối của tia BC lấy điểm

M , trên tia đối tia của tia CB
lấy điểm N sao cho BM = CN. Kẻ BE ^ AM (E Î AM ), CF ^ AN (F Î AN ) .
Chứng minh rằng
DBME = DCNF .

Lời giải:
Bài 11. Cho DABC . Từ A vẽ cung tròn có bán kính bằng BC , từ C vẽ cung tròn có bán kính
bằng AB . Hai cung tròn này cắt nhau tại D ( D nằm khác phía của B đối với AC ). Kẻ
AH ^ BC
(H Î BC)
và CK ^ AD (K Î AD) .
Chứng minh
Chứng minh
DAHC = DCKA;
DAHB = DCKD .

Lời giải:
Dạng 2. Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau. Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc.
Phương pháp giải:
+ Chọn hai tam giác vuông có cạnh (góc) là đoạn thẳng (góc) cần tính hoặc chứng minh bằng nhau.
+ Tìm thêm hai điều kiện bằng nhau, trong đó có một điều kiện về cạnh, để kết luận hai tam giác bằng nhau.
+ Suy ra các cạnh (góc) tương ứng bằng nhau và kết luận.
Bài toán.
Bài 1. Cho hình vẽ sau. Chứng minh OK là phân giác của góc BOA .
B
O	K
A
Lời giải:
Bài 2. Cho
DABC
có AB = AC . Kẻ AD ^ BC . Chứng minh AD là tia phân giác của BAC .
A
B	D	C
Lời giải:
Bài 3. Cho DABC có BA = BC . Qua A kẻ đường vuông góc với AB , Qua C kẻ đường vuông
góc với CB , chúng cắt nhau ở K . Chứng minh BK là phân giác của góc B .
Bài 4. Cho tam giác ABC , M là trung điểm cạnh BC . Vẽ BI , CK vuông góc với AM . Chứng minh BI = CK .
Lời giải:
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại
MD ^ BC (D Î BC).
A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại điểm
M . Kẻ
Chứng minh BA = BD;
Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DM và
Lời giải:
BA. Chứng minh
DABC = DDBE .
Bài 6. Cho tam giác ABC có AB = AC . Trên cạnh
AB, AC lần lượt lấy các điểm
M , N sao cho
AM = AN . Các đường thẳng vuông góc với
H . Chứng minh:
AB, AC tại
M , N cắt nhau ở O . AO cắt BC tại
DAMO = DANO ;
HB = HC
và AH ^ BC .

Lời giải:
Bài 7. Cho tam giác ABC có AB = AC . Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt đường thẳng vuông góc với AC tại C ở D . Gọi M là trung điểm cạnh BC . Chứng minh:
DDAB = DDAC ;
A, M , D thẳng hàng.
Lời giải:
Bài 8. Cho
DABC
vuông tại A và AB = AC . Tính số đo góc
Lời giải:
B, C ?
Bài 9. Cho
DABC
vuông tại A . Từ điểm K trên cạnh AC , vẽ KH ^ BC , biết KH = KA .
Chứng minh rằng BK ^ AH .
Lời giải:
Bài 10. Cho
DABC
vuông tại A ( AB < AC )
và các điểm M thuộc cạnh AC , H thuộc cạnh
BC sao cho MH ^ BC
và MH = HB . Chứng minh rằng AH là tia phân giác của góc A .
Lời giải:
Bài 11.	Cho tam giác ABC . Các tia phân giác của góc B và C cắt nhau ở I . Kẻ
ID ^ AB; IE ^ AC (D Î AB; E Î AC ) . Chứng minh rằng AD = AE .
Lời giải:
Bài 12. Cho
DABC
vuông tại A có AB < AC . Vẽ
AH ^ BC(H Î BC) . D là điểm trên cạnh AC
sao cho AD = AB . Vẽ
DE ^ BC(E Î BC). Chứng minh HA
Lời giải:
= HE .
Bài 13 . Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC và AM là tia phân giác của góc A . Chứng minh AB = AC .
Lời giải:
Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Tìm hoặc chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau
Bài 1. Cho tam giác ABC nhọn có AB = AC , vẽ BD ^ AC
giao điểm của BD và CE . Chứng minh:
tại D , CE ^ AB
tại E . Gọi M là
DDBA = DECA ;
DEBC = DDCB ;
DEAM = DDAM .
Bài 2. Cho
DABC
có AB = AC . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A lần lượt vẽ các tia
Bx, Cy sao cho Bx ^ BA và Cy ^CA . Gọi D là giao điểm của các tia Bx, Cy .
Chứng minh DABD = DACD.
Dạng 2. Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau. Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc.
Bài 1. Cho
DABC
nhọn có AB = AC . Vẽ
BH ^ AC (H Î AC ) , CK ^ AB (K Î AB) .
Chứng minh: AH = AK .
Gọi I là giao điểm của BH và CK . Chứng minh AI là tia phân giác của A .
Bài 2. Cho
DABC
có AB = AC . D là một điểm trên cạnh AB , E là một điểm trên cạnh AC sao
cho AD = AE . Từ D và E hạ các đường
B = C ;
BM = CN .
DM , EN cùng vuông góc với BC . Chứng minh rằng:
Bài 3. Cho xOy . Trên tia Ox lấy điểm A , trên tia Oy lấy điểm B . Gọi M là trung điểm của
đoạn thẳng AB . Từ A và B kẻ các đường thẳng Chứng minh : AE = BF .
AE, BF cùng vuông góc với tia OM .
Bài 4. Cho góc xOy . Trên tia phân giác của góc đó lấy một điểm M , từ M hạ các đường thẳng
vuông góc MA, MB xuống cạnh Ox,Oy .Chứng minh :
DMAO = DMBO ;
AB vuông góc với OM .
ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Tìm hoặc chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau Bài 1.
Bài 2.
Dạng 2. Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau. Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc.
Bài 1 .
Bài 2 .
Bài 3 .
Bài 4 .
PHIẾU BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm hoặc chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau Bài 1. Tìm các tam giác vuông bằng nhau trên hình sau:
A
D	B
C
Bài 2. Tìm các tam giác vuông bằng nhau trên hình sau:
C
A
B
D
Bài 3. Tìm các tam giác vuông bằng nhau trên hình sau:
B
A	C
D
Bài 4. Tìm các tam giác vuông bằng nhau trên hình sau:
F
E
M
N
Bài 5. Cho hình vẽ sau:
D
E
A
Chứng minh rằng :
B	H	C
DABH = DACH
DADH = DAEH
DDBH = DECH
Bài 6. Cho xOy . Tia Oz là tia phân giác xOy . Lấy điểm A thuộc tia Oz ( A ¹ O) . Kẻ	AB
vuông góc với Ox, AC vuông góc với Oy (B ÎOx, CÎOy) . Chứng minh
Bài 7. Cho hình vẽ sau. Tìm các tam giác vuông bằng nhau trên hình?
DOAB
= DOAC .
A
F
G
B	D	E	C
Bài 8.MD3. Cho tam giác ABC có AB = AC . Gọi D là trung điểm	của cạnh BC . Kẻ
DE ^ AB, DF ^ AC . Chứng minh:
DDEB = DDFC
DDEA = DDFA
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = AC . Qua A kẻ đường thẳng d cắt BC . Vẽ
BM ,CN vuông góc với d . Chứng minh rằng : DBAM = DACN .
Bài 10. Cho
DABC
có B = C . Trên tia đối của tia BC lấy điểm M ,
trên tia đối tia của tia CB
lấy điểm N sao cho BM = CN. Kẻ BE ^ AM (E Î AM ), CF ^ AN (F Î AN ), AI ^ BC(I Î BC).
Chứng minh rằng DBME = DCNF .
Bài 11. Cho DABC . Từ A vẽ cung tròn có bán kính bằng BC , từ C vẽ cung tròn có bán kính
bằng AB . Hai cung tròn này cắt nhau tại D ( D nằm khác phía của B đối với AC ). Kẻ
AH ^ BC(H Î BC) và CK ^ AD(K Î AD) .
Chứng minh
Chứng minh
DAHC = DCKA
DAHB = DCKD
Dạng 2. Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau. Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc.
Bài 1. Cho hình vẽ sau. Chứng minh OK là phân giác của góc BOA
B
O	K
A
Bài 2. Cho
DABC
có AB = AC . Kẻ AD ^ BC . Chứng minh AD là tia phân giác của BAC .
Bài 3. Cho DABC có BA = BC . Qua A kẻ đường vuông góc với AB , Qua C kẻ đường vuông
góc với CB , chúng cắt nhau ở K . Chứng minh BK là phân giác của góc B ?
Bài 4. Cho tam giác ABC , M là trung điểm cạnh BC . Vẽ BI , CK vuông góc với AM . Chứng minh BI = CK .
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại
MD ^ BC (D Î BC).
A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại điểm
M . Kẻ
Chứng minh BA = BD;
Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DM và
BA. Chứng minh
DABC = DDBE .
Bài 6. Cho tam giác ABC có AB = AC . Trên cạnh
AB, AC lần lượt lấy các điểm
M , N sao cho
AM = AN . Các đường thẳng vuông góc với
H . Chứng minh
AB, AC tại
M , N cắt nhau ở O . AO cắt	BC tại
DAMO = DANO
HB = HC và AH ^ BC .
Bài 7. Cho tam giác ABC có	AB = AC . Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt đường thẳng vuông góc với AC tại C ở D . Gọi M là trung điểm cạnh BC . Chứng minh:
DDAB = DDAC ;
A, M , D thẳng hàng.
Bài 8. Cho
DABC
vuông tại A và AB = AC . Tính số đo góc
B, C ?
Bài 9. Cho
DABC
vuông tại A . Từ điểm K trên cạnh AC , vẽ KH ^ BC , biết KH = KA .
Chứng minh rằng BK ^ AH .
Bài 10. Cho
DABC
vuông tại A ( AB < AC )
và các điểm M thuộc cạnh AC , H thuộc cạnh
BC sao cho MH ^ BC và MH = HB . Chứng minh rằng AH là tia phân giác của góc A .
Bài 11.	Cho tam giác ABC . Các tia phân giác của góc B và C cắt nhau ở I . Kẻ
ID ^ AB; IE ^ AC (D Î AB; E Î AC ) . Chứng minh rằng AD = AE .
Bài 12. Cho
DABC
vuông tại A có AB < AC . Vẽ
AH ^ BC(H Î BC) . D là điểm trên cạnh AC
sao cho AD = AB . Vẽ
DE ^ BC(E Î BC). Chứng minh HA
= HE
Bài 13 . Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC và AM là tia phân giác của góc A . Chứng minh AB = AC
Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Tìm hoặc chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau
Bài 1. Cho tam giác ABC nhọn có AB = AC , vẽ BD ^ AC
giao điểm của BD và CE . Chứng minh:
tại D , CE ^ AB
tại E . Gọi M là
DDBA = DECA ;
DEBC = DDCB ;
DEAM = DDAM .
Bài 2. Cho
DABC
có AB = AC . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A lần lượt vẽ các tia
Bx, Cy sao cho Bx ^ BA và Cy ^CA . Gọi D là giao điểm của các tia Bx, Cy .
Chứng minh DABD = DACD.
Dạng 2. Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau. Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc.
Bài 1. Cho
DABC
nhọn có AB = AC . Vẽ
BH ^ AC (H Î AC ) , CK ^ AB (K Î AB) .
Chứng minh: AH = AK .
Gọi I là giao điểm của BH và CK . Chứng minh AI là tia phân giác của A .
Bài 2. Cho
DABC
có AB = AC . D là một điểm trên cạnh AB , E là một điểm trên cạnh AC sao
cho AD = AE . Từ D và E hạ các đường
B = C
DM , EN cùng vuông góc với BC . Chứng minh rằng:
BM = CN .
Bài 3. Cho xOy . Trên tia Ox lấy điểm A , trên tia Oy lấy điểm B . Gọi M là trung điểm của
đoạn thẳng AB . Từ A và B kẻ các đường thẳng Chứng minh : AE = BF
AE, BF cùng vuông góc với tia OM .
Bài 4. Cho góc xOy . Trên tia phân giác của góc đó lấy một điểm M , từ M hạ các đường thẳng
vuông góc MA, MB xuống cạnh Ox,Oy .Chứng minh:
DMAO = DMBO .
AB vuông góc với OM .