Giáo án Toán 7 (Cánh diều) - Chương 7: Tam giác - Bài 9: Đường trung trực của đoạn thẳng

ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG
I Định nghĩa
Đường trung trực của đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng ấy.
 Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M làm trung điểm sau đó vẽ đường thẳng d đi qua trung điểm M và vuông góc với AB tại M thì khi đó đường thẳng d được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Luyện tập 1 trang 101
Phương pháp: Để chứng minh AM là đường trung trực của đoạn BC thi ta chứng minh AM đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuông góc với đoạn thẳng BC.
Rồi các bạn chú ý quan sát trên hình, ở đây chúng ta đã có M là trung điểm của đoạn BC rồi như vậy nhiệm vụ bây giờ, chung ta đi chứng minh AM vuông góc với đoạn BC nữa là xong.
Giải
Theo đề bài ta có M  là trung điểm của BC nên B, M, C thằng hàng
Mà (Hai góc kề bù)
Mặt khác: 
Suy ra 
Nên AM vuông góc BC
Vậy AM là đường trung trực của BC
II Tính chất
* Tính chất 1:  Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
VD: Gỉa sử d là trung trực của AB, M ∈ d=> MA = MB
Luyện tập 2 trang 101
Hình 91 mô tả mặt cắt đứng của một ngôi nhà với hai mái là OA và OB, mái nhà bên trái dài 3 m. Tính chiều dài mái nhà bên phải, biết rằng điểm O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Lời giải:
Do O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên OA = OB = 3 m.
Vậy chiều dài mái nhà bên phải là 3 m.
* Tính chất 2 (Tính chất nghịch đảo của tính chất 1 dùng để chứng minh đường trung trực của đoạn thẳng): Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó
VD: Giả sử chứng minh được MA = MB => M thuộc đường trung trực của AB
Tóm lại học tới đây chúng ta có 2 cách cm đường trung trực của đoạn thẳng:
+ Cách 1: Sử dụng định nghĩa
+ Cách 2: Sử dụng tính chất số 2
Luyện tập 3 trang 102
Cho tam giác ABC cân tại A.
a) Điểm A có thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC hay không? Vì sao?
b) Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt cạnh BC tại H. Đường thẳng AH có là đường trung trực của đoạn thẳng BC hay không? Vì sao?
Giải
a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
Do AB = AC nên A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.
b) Ta có A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC (cmt)
Xét ∆AHB vuông tại H và ∆AHC vuông tại H có:
AB = AC (chứng minh trên).
AH chung.
Do đó ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra HB = HC (2 cạnh tương ứng).
Nên H thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Suy ra AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
VD: Cho tam giác MNP cân tại P. Vẽ tia phân giác PK của góc P (K thuộc MN). Chứng mình rằng PK là đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Giải
Để chứng minh PK , ta có thể thực hiên một trong hai cách sau: 
+ Cách 1: Sử dụng định nghĩa
+ Cách 2: Sử dụng tính chất số 2
Ở đây, ta làm theo cách 2 nghĩa là đi chứng minh điểm P và điểm K thuộc vào đường trung trực của đoạn MN từ đó suy ra PK là đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Ta có: PM = PN (tam giác MPN cân tại P) nên P thuộc vào đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Xét tam giác MPK và tam giác NPK có
MP = NP (tam giác MPN cân tại P)
 (PK là tia phân giác của góc P)
PK là cạnh chung 
Suy ra 
Nên KM = KN (hai cạnh tương ứng)
Suy ra K thuộc vào đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Vậy PK là đường trung trực của đoạn thẳng MN.
III Vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng
Để vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB ta thực hiện một trong hai cách sau:
Cách 1:
- Vẽ đoạn thẳng AB và xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB.
- Kẻ một đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng AB tại điểm M thì ta thu được d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Cách 2:
- Dùng compa vẽ hai đường tròn tâm A và tâm B bán kính bằng nhau (độ dài bán kính bất kỳ). Hai đường tròn giao nhau tại hai điểm C và D.
- Kẻ đường thẳng d đi qua hai điểm C và D thì ta thu được d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.