Giáo án Toán 7 (Cánh diều) - Chương 6: Biểu thức đại số - Bài 5: Phép chia đa thức một biến

PHÉP CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN
I Chia đơn thức cho đơn thức
* Quy tắc: Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (B ≠ 0 thì ta thực hiện các bước sau:
B1: Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.
B2: Chia luỹ thừa của biến trong A cho luỹ thừa của biến đó trong B.
B3: Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
VD: Tính 14x2 : 7x
Giảng cho học sinh hiểu
Rồi nhìn vào, các bạn thấy biểu thức có dạng đơn thức chia đơn thức như vậy chúng ta áp dụng quy tắc chia đơn thức cho đơn thức để tính:
+ Đầu tiên các bạn lấy hai hệ số 14 và 7 chia lại với nhau rồi lấy hai phần biến x2 và x chia lại với nhau.
= (14 : 7). (x2 : x)
+ Tới đây tính từng cái ngoặc, trong dấu ngoặc thứ nhất lấy 14 : 7 = 2, tiếp ghi dấu nhân, cuối cùng lấy x2 : x =x
+ Lúc này, các bạn 2.x thì thu được kết quả 2x.
Như vậy, khi lấy hai đơn thức này chia lại thì thu được kết quả bằng 2x
Giải
14x2 : 7x = (14 : 7). (x2 : x) = 2.x = 2x
Luyện tập 1 trang 64
II Chia đa thức cho đơn thức
* Quy tắc: Muốn chia đa thức P cho đơn thức Q (Q ≠ 0) khi số mũ của biến ở mỗi đơn thức của P lớn hơn hoặc bằng số mũ của biến đó trong Q, ta chia mỗi hạng tử của đa thức P cho đơn thức Q rồi cộng các thương với nhau.
VD: Tính (5x2 + 25x) : 5x
Giảng cho học sinh hiểu
Rồi nhìn vào, các bạn thấy biểu thức có dạng đa thức chia đơn thức thì chúng ta áp dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức để tính bằng cách lấy từng hạng tử của đa thức trong ngoặc chia cho đơn thức 5x ở ngoài.
= 5x2 :5x + 25x : 5x
Tới đây các bạn thấy biểu thức có dạng tổng của các đơn thức chia đơn thức thì chúng ta phải áp dụng quy tắc đơn thức chia đơn thức để tính rồi sau đó thu gọn luôn
+ Trước hết ghi dấu bằng, đầu tiên lấy 5x2 : 5x thì thu được x, tiếp ghi dấu “+”, tiếp lấy 25x :5x thì thu được 5.
+ Lúc này nhìn vào các bạn thấy biểu thức mình vừa tính đã thu gọn rồi nên mình dừng lại.
Giải
(5x2 + 25x) : 5x = 5x2 : 5x + 25x : 5x = x + 5
Luyện tập 2 trang 65
III Chia đa thức một biến đã sắp xếp
* Quy tắc: SGK
VD: Tính 
Nhìn vào biểu thức này các bạn thấy nó có dạng đa thức chia đa thức. Như vậy để tính biểu thức này các bạn đặt tính ra.
- Trước khi đặt tính bạn nhìn vào đa thức thứ nhất thấy đa thức này đã thu gọn chưa ? (Rồi); Tiếp các biến của đa thức thứ nhất này đã được sắp xếp theo số mũ giảm dần chưa ? (Rồi); Cuối cùng các bạn thấy đa thức thứ nhất này có bị khuyết biến nào không? ( có cụ thể là khuyết biến x2 và x). Như vậy khi viết đa thức này thì các bạn chừa trống 2 ô. (x3 +1)
- Gạch thẳng đứng xuống rồi gạch ngang qua
- Chuyển sang đa thức thứ hai, các bạn thấy đa thức này đã thu gọn chưa ?( Rồi); Tiếp các biến của đa thức thứ hai này đã được sắp xếp theo số mũ giảm dần chưa ? (Rồi); Cuối cùng các bạn thấy đa thức thứ hai này có bị khuyết biến nào không ? (Không). Như vậy các bạn viết lại đa thức thứ hai trên dấu gạch ngang.
-
x3 +1 x2 – x + 1
x3 – x2 + x x + 1 
-
 x2 – x +1
 x2 – x + 1
- Đầu tiên lấy hạng tử cao nhất của đa thức bên trái là x3 chia cho hạng tử cao nhất của đa thức bên phải là x2 thì thu được x. Lúc này viết x phía dưới dấu gạch ngang.
- Tiếp các bạn lấy x nhân với từng hạng tử của đa thức trên dấu gạch ngang. Rồi thầy thực hiện nhân ngoài nháp 
x.( x2 – x + 1) = x3 – x2 + x
Rồi các bạn lưu ý, lúc này các bạn viết hạng tử x3 ngoài nháp phải thẳng cột với hạng tử x3 ở bên trái; hạng tử - x2 ngoài nháp phải thẳng cột với ô trống thứ nhất bên trái; hạng tử +x ngoài nháp phải thẳng cột với ô trống thứ hai bên trái
- Tiếp gạch ngang qua, đặt dấu trừ ở giữa rồi thực hiện phép trừ hai đa thức theo cột dọc thi thu được x2 – x + 1
- Tiếp các bạn nhìn vào đa thức mình vừa tính thấy bậc của nó là bậc 2 thì nó bằng với bậc 2 của đa thức bên phải nên mình thực hiện chia tiếp, rồi các bạn lấy hạng tử cao nhất của đa thức mới là x2 chia cho hạng tử cao nhất của đa thức bên phải là x2 thu được 1.
- Tiếp các bạn lấy 1 nhân với từng hạng tử của đa thức trên dấu gạch ngang thì thu được x2 – x + 1
- Tiếp gạch ngang qua, đặt dấu trừ ở giữa rồi thực hiện phép trừ hai đa thức theo cột dọc thi thu được 0. Tới đây dừng lại do 0 là đa thức không nên bậc của nó chắc chắn sẽ nhỏ hơn bậc 2 của đa thức bên phải
 0
Luyện tập 3 trang 66
* Nhận xét
– Khi chia đa thức A cho đa thức B của cùng một biến (B ≠ 0), có hai khả năng xảy ra:
+ Phép chia có dư bằng 0. Trong trường hợp này ta nói đa thức A chia hết cho đa thức B.
+ Phép chia có dư là đa thức R (R ≠ 0) với bậc của R nhỏ hơn bậc của B. Phép chia trong trường hợp này được gọi là phép chia có dư.
– Người ta chứng minh được rằng đối với hai đa thức tuỳ ý A và B của cùng một biến (B ≠ 0), tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A = B . Q + R, trong đó R bằng 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B. Như vậy, đã thức A chia hết cho đa thức B khi và chỉ khi R = 0.