Giáo án ôn tập Hình học 7 (Kết nối tri thức với cuộc sống) - Chuyên đề 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao của tam giác (Tiếp theo)

Dạng 3. Vận dụng tính chất ba đường cao trong tam giác để giải quyết các bài toán khác
Phương pháp giải:
Dựa vào định lí, tính chất về sự đồng quy của ba đường cao trong tam giác.
Bài toán.
Bài 1. Cho
DABC
đều. Ba đường cao
AM , BN,CP cắt nhau tại O . Chứng minh rằng:
OA = OB = OC .
O là trọng tâm của
AM = BN = CP

DABC

Lời giải:
Bài 2. Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Lời giải
Bài 3. Chứng minh rằng một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
Lời giải
Bài 4. Cho
DABC
vuông tại A , kẻ đường cao AH và trung tuyến AM . Chứng minh trực tâm
của
DABC , DMAB
và DMAC
thẳng hàng.

Lời giải
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A . Đường cao
AH. Lấy I là trung điểm của

AC.
Chứng minh I là giao điểm của 3 đường trung trực DAHC
Gọi K và D lần lượt là trung điểm của AH và
Chứng minh BK ^ AD .
HC. Chứng minh
KD / / AC .
Lời giải
Bài 6. Cho tam ABC cân tại
A, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại
I (D Î
AC, E Î AB) . Tia
AI cắt BC tại M . Chứng minh
M là trung điểm của
BC.
Lời giải
Tam giác MED là tam giác	cân.
Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM và đường phân giác BD cắt nhau
tại
K. Gọi E là giao điểm của CK và
AB. Chứng minh
Lời giải
BD = CE.
Bài 8. Cho tam giác
ABC. Hai đường cao
AH , BK cắt nhau tại I.
Chứng minh rằng CI ^ AB.
Khi
ACH = 50°, hãy tính các góc
BIH , HIK.
Lời giải
Bài 9. Cho tam giác ABC cân tại A. Hai đường cao xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại
M . Biết góc
BMC = 120°, tính các góc của tam giác
Lời giải
ABC.
Bài 10. Cho tam giác ABC cân tại
A, M là trung điểm của
B,C. Gọi H và K lần lượt là chân
các đường vuông góc kẻ từ M đến AB và
AC. Chứng minh
Lời giải
MH = MK.
Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC
Dạng 1. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Bài 1. Cho D ABC cân tại A , đường trung tuyến AM . Đường trung trực của AB cắt AM ở O
. Chứng minh rằng điểm O cách đều ba đỉnh của DABC
Bài 2. Cho D ABC cân tại A , O là giao điểm của ba đường trung trực. Lấy điểm D trên cạnh
AB , điểm E trên cạnh sao cho AD = CE . Chứng minh rằng
OA = OB = OC .
Điểm O nằm trên đường trung trực của DE .
Bài 3. Nhà bạn Nam có một mảnh vườn nhỏ trồng hoa và cỏ nhật. Bố của bạn Nam nhờ Nam chọn vị trí để đặt vòi xoay phun tưới cây tự động sao cho vị trí đó cách đều ba khóm hoa ở ba góc vườn nhưng Nam lại chưa biết tìm như thế nào. Các em hãy giúp bạn Nam giải quyết vấn đề này nhé.
Bài 4. Ông Hùng có ba cửa hàng A, B, C không nằm trên một đường thẳng và đang muốn tìm
địa điểm O để làm kho hàng. Phải chọn vị trí của kho hàng ở đâu để khoảng cách từ kho đến các cửa hàng bằng nhau?
Dạng 2. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng
Bài 5. Cho tam giác ABC cân ở
AC cắt nhau tại O.
A, đường phân giác
AK.
Các đường trung trực của AB và
Chứng minh rằng ba điểm A, K, O thẳng hàng.
Kéo dài CO cắt AB ở
D, kéo dài BO cắt AC ở
E. Chứng minh rằng AK và các đường
trung trực của AD và AE đồng quy.
Bài 6.	Cho
xOy = 90
và điểm P nằm trong góc đó. Trên mặt phẳng đó lấy điểm A sao cho
Ox là đường trung trực của đoạn thẳng PA và điểm B sao cho Oy là đường trung trực của đoạn thẳng PB .
Chứng minh ba điểm O, A, B thẳng hàng.
Chứng minh O là giao điểm của ba đường trung trực của
DABP
từ đó suy ra
DABP
vuông.
Bài 7. Cho tam giác MNP cân ở M , đường cao MH . Các đường trung trực của MN và MP
cắt nhau ở D . Chứng minh ba điểm M , D, H thẳng hàng.
Bài 8. Cho tam giác ABC cân có A là góc tù. Gọi M là trung điểm của BC . N nằm trong tam giác ABC sao cho tam giác BNC cân tại N . Chứng minh đường thẳng AM và các đường
trung trực của NB, NC đồng quy.
Dạng 3. Vận dụng tính chất ba đường trung trực trong tam giác để giải quyết các bài toán khác
Bài 9. Cho
DABC có
Aˆ =110° . Các đường trung trực của cạnh AB và AC lần lượt cắt BC ở
E và F . Tính EAF .
Bài 10. Cho
DABC
cân tại A ,
A > 900 . Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau tại
O và cắt BC tại D và E . Chứng minh rằng:
OA là đường trung trực của BC .
BD = CE .
DODE là tam giác cân.
Bài 11.	Cho M là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác ABC . Chứng minh rằng nếu
M nằm trên một cạnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông.
Bài 12. Cho
DABC , đường phân giác
AI ( I Î BC ) . Trên đoạn thẳng IC lấy điểm H , từ H kẻ
đường thẳng song song với AI cắt AB kéo dài tại E và cắt AC tại F . Chứng minh rằng:
Đường trung trực của đoạn thẳng EF đi qua đỉnh A của
Đường trung trực của đoạn thẳng EF vuông góc với AI .
DABC .
Khi H di động trên tia IC của định.
DABC
cố định thì đường trung trực của đoạn thẳng EF cố
Bài 13.	Cho
DABC
có ba góc nhọn. Các điểm
F, K , I lần lượt là trung điểm các cạnh
BC, BA, AC . Gọi H là giao điểm các đường trung trực DABC . Trên tia đối của tỉa FH lấy
điểm
A1 sao cho
A1F = FH . Trên tia đối của tia KH lấy điểm C1
sao cho
KH = KC1. Trên tia
đối của tia IH lấy điểm
B1 sao cho
IH = IB1 .
Chứng minh rằng hình lục giác một song song.
AC1BA1CB1 có 6 cạnh bằng nhau và 2 trong 6 cạnh đó đôi
Chứng minh rằng:
DABC
= DA1B1C1

BA ĐƯỜNG CAO
Dạng 1. Xác định trực tâm của một tam giác
Bài 14. Cho
DABC , các đường cao
AK, BN,CM . Điểm H là trực tâm của tam giác. Tìm trực
tâm của
DBHC ,
DAHC ,
DAHB .
Bài 15. Cho tam giác ABC , hai đường cao BD và CE . Gọi M là trung điểm của minh M thuộc trung trực của DE .
BC. Chứng
Bài 16. Đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B (MA < MB). Vẽ tia Mx vuông AB lấy
hai điểm C và D sao cho
AE ^ BD
MA = MC , MD = MB. Tia AC vuông cắt BD tại E . Chứng minh
C là trực tâm của tam giác DABD .
Dạng 2. Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ba đường thẳng đồng quy
Bài 17. Cho tam giác LMN nhọn và điểm S nằm trong tam giác. Gọi LS cắt MN tại P , MS cắt LN tại Q . Chứng minh rằng nếu LP vuông góc với MN và MQ vuông góc với LN thì NS vuông góc với ML .
Bài 18. Cho
NK ^ MP
Bài 19. Cho
DMNP
DABC
cân tại M , đường cao PQ cắt đường phân giác MS ở K . Chứng minh
vuông tại A , kẻ đường cao AH . Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng HC . Qua
K kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AH tại D . Chứng minh AK ^ CD .
Bài 20. Cho
DMNP
vuông tại
M (MP < MN ) . Trên cạnh MN lấy điểm Q sao cho MQ = MP ,
trên tia đối của tia MP lấy điểm R sao cho MR = MN . Chứng minh:
PQ ^ NR .
RQ ^ NP .
Dạng 3. Vận dụng tính chất ba đường cao trong tam giác để giải quyết các bài toán khác
Bài 21. Cho
DMNP có ba góc nhọn, các đường cao
NQ, PR cắt nhau tại S.
Chứng minh MS ^ NP .
Cho MNP = 650 . Tính SMR .
Bài 22. Cho
BD = BA .
DABC
vuông tại A , kẻ đường phân giác BM . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho
Chứng minh BM ^ AD .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC , K là hình chiếu vuông góc của A trên DM
. Chứng minh ba đường thẳng
AK, BM , DH đồng quy.
ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC
Dạng 1. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Bài 1.
Bài 2.
Bài 3.
Bài 4.
Dạng 2. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng Bài 5.
Bài 6.
Bài 7.
Bài 8.
Dạng 3. Vận dụng tính chất ba đường trung trực trong tam giác để giải quyết các bài toán khác
Bài 9.
Bài 10.
Bài 11.
Bài 12.
Bài 13.
BA ĐƯỜNG CAO
Dạng 1. Xác định trực tâm của một tam giác Bài 14.
Bài 15.
Bài 16.
Dạng 2. Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ba đường thẳng đồng quy
Bài 17.
Bài 18.
Bài 19.
Bài 20.
Dạng 3. Vận dụng tính chất ba đường cao trong tam giác để giải quyết các bài toán khác Bài 21.
Bài 22.
PHIẾU BÀI TẬP
BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC
Dạng 1. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Bài 1. Chọn đáp án đúng. Điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác là giao điểm của:
3 đường trung tuyến.
3 đường phân giác.
3 đường trung trực.
3 đường cao.
Bài 2. Chọn đáp án đúng.
Cho
DABC
tù, giao điểm 3 đường trung trực của tam giác nằm:
trong
ngoài
DABC .
DABC .
trên 1 cạnh của DABC .
trùng với 1 đỉnh của DABC .
Cho
DABC có
A = 90° thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác:
nằm trong
nằm ngoài
DABC
DABC
là trung điểm của cạnh BC
trùng với đỉnh A của DABC
Cho
DABC
nhọn, giao điểm 3 đường trung trực của tam giác nằm:
trong
ngoài
DABC
DABC
trên một cạnh của DABC
trùng với một đỉnh của DABC
Bài 3. Cho ΔABC . Vẽ điểm O cách đều ba đỉnh A, B, C và vẽ đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác trong mỗi trường hợp sau:
ΔABC là tam giác nhọn.
ΔABC vuông tại A .
ΔABC là tam giác tù.
Bài 4. Cho đó.
A, B, C là ba điểm phân biệt không thẳng hàng. Xác định đường tròn đi qua ba điểm
Bài 5. Cho
DABC có
A > 90° . Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau ở O và cắt
BC theo thứ tự ở D và E . Nối
AD, AE,OB,OC . Tìm tam giác bằng
DOAD , bằng
DOAE.
Bài 6. Cho
DABC
vuông tại A , đường cao AH . Tia phân giác của các góc BAH và CAH cắt
BC lần lượt ở D và E . Gọi O là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABC .
Chứng minh rằng đường tròn tâm O , bán kính OA đi qua ba điểm
Tính số đo góc DOE .
A, D, E .
Bài 7. Tam giác ABC có A là góc tù. Các đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau ở O. Các điểm B và C có thuộc đường tròn tâm O bán kính OA hay không? Vì sao?
Bài 8. Cho
DABC
có ba góc nhọn, O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC . Trên
tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho OB = OD .
Chứng minh O thuộc đường trung trực của AD và CD .
Chứng minh các
DABD ,
DCBD vuông.
Biết ABC = 70° . Hãy tính số đo ADC .
Bài 9. Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại O . Biết rằng điểm O cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC . Chứng minh tam giác ABC đều.
Bài 10. Cho
DABC
đều. Trên cạnh
AB, BC,CA lấy theo thứ tự ba điểm
M , N, P sao cho
AM = BN = CP
Chứng minh

DMNP

là tam giác đều
Gọi O là giao điểm các đường trung trực của DABC .
Chứng minh rằng điểm O cũng là giao điểm các đường trung trực của DMNP
Bài 11. Trong một buổi tổng vệ sinh sân trường, 3 tổ cần dọn cỏ và rác của 3 bồn cây A, B, C
ở 3 góc sân trường. Em hãy giúp 3 tổ chọn một vị trí O để đặt chiếc xe đẩy rác sao cho vị trí chiếc xe cách đều 3 bồn cây đó.
Dạng 2. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng
Bài 1. Cho
DABC
cân tại A . Dựng tam giác BCD cân tại D biết D khác phía với A đối với
đường đường thẳng BC . Gọi O là giao điểm của	AB và AC . Chứng minh rằng hàng.
A,O, D thẳng
Bài 2. Cho
DABC
cân tại A . Gọi M là trung điểm của BC . Các đường trung trực của AB và
AC cắt nhau ở E . Chứng minh ba điểm

A, E, M thẳng hàng.
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi G là trọng tâm, O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC .
Tam giác BOC là tam giác gì?
Chứng minh ba điểm A,O,G thẳng hàng?
Bài 4. Cho tam giác ABC cân ở A . Gọi M là trung điểm của BC . Các đường trung trực của
AB, AC cắt nhau ở E . Chứng minh ba điểm A, E, M thẳng hàng.
Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A . Lấy điểm D sao cho tam giác BCD cân tại D ( D và A nằm khá ... g minh rằng KA = KB = KC.
Bài 7. Cho
DABC
cân tại A ,
A > 900 . Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau tại O
và cắt BC tại D và E . Chứng minh rằng:
OA là đường trung trực của BC .
BC = CE .
DODE là tam giác cân.
Bài 8. Chứng minh rằng các đường trung trực của tam giác vuông cắt nhau tại trung điểm của cạnh huyền.
Bài 9. Cho tam giác đều ABC . Gọi D và E là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AB và AC sao cho BD = AE . Chứng minh rằng các đường trung trực của đoạn thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định khi D và E di chuyển trên các cạnh AB và AC .
Bài 10. Cho DABC , AC > AB . Hai điểm D và E theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB và
AC sao cho BD = CE . Chứng minh rằng các đường trung trực của DE luôn đi qua một điểm cố định.
BA ĐƯỜNG CAO
Dạng 1. Xác định trực tâm của một tam giác
Bài 1. Cho
DABC có
ABC = 90° , AH ^ BC . Em chọn phát biểu đúng:
H là trực tâm của
A là trực tâm của
B là trực tâm của
C là trực tâm của
DABC
DABC
DABC
DABC
Bài 2. Cho DABC , hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H . Em chọn phát biểu đúng:
H là trọng tâm của DABC .
HA = 2 AM
3
và HB = 2 BN
3
H là trực tâm của
DABC ; CH là đường cao của
DABC .
CH là đường trung trực của DABC .
Bài 3. Cho
DABC
cân tại A có AM ^ BC
tại M . Chọn phát biểu đúng:
AM là đường trung tuyến của DABC
AM là đường trung trực của BC .
AM là đường phân giác của BAC .
Cả A, B, C đều đúng.
Bài 4. Cho
D . Khi đó
DABC
vuông tại A . Lấy H thuộc AB , vẽ HE ^ BC ở E . Tia EH cắt tia CA tại
H là trọng tâm của DBCD .
H là trực tâm của DBCD .
H là giao ba đường trung trực của
H là giao ba đường phân giác của
DBCD .
DBCD .
Bài 5. Cho tam giác
DAHB, DAHC .
DABC
vuông tại
A, đường cao AH . Tìm trực tâm của các giác
DABC,
Bài 6. Cho H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác
HBC, HAB, HAC
Bài 7. Cho
DABC có
A = 700 , AB < AC , đường phân giác góc A cắt BC tại D , BF ^ AC
tại
F , H là giao điểm của BF và AD , E thuộc AC sao cho AE = AB .
Xác định trực tâm của
Tính số đo DHF .
DABE .
Dạng 2. Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ba đường thẳng đồng quy
Bài 1. Cho
DABC
cân tại A , đường cao BE cắt đường trung tuyến AD ở H . Chứng minh CH
tạo với AB một góc 90.
Bài 2. Cho tam giác
DABC
cân tại A . đường cao CH cắt tia phân giác của góc A tại D .
Chứng minh rằng BD ^ AC .
Bài 3. Cho
DMNP
vuông tại M . Trên cạnh MN lấy điểm Q , kẻ QR ^ NP ( R ÎNP) . Gọi O là
giao điểm của các đường thẳng PM và RQ . Chứng minh PQ ^ ON .
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A . Lấy điểm D sao cho A là trung điểm của

BD. Kẻ đường
cao AE của tam giác ABC , đường cao AF của tam giác ACD . Chứng minh rằng AE ^ AF.
Bài 5. Cho tam giác MNP có ba góc nhọn, các đường cao
Chứng minh MS ^ NP .
Cho MNP = 65°. Tính SMR .
NQ, PR cắt nhau tại S .
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A , kẻ đường cao AH . Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng
HC . Qua K kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AH tại D . Chứng minh AK ^ CD .
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông cân tại
B. Trên cạnh AB lấy điểm
H.Trên tia đối của tia BC
lấy điểm D sao cho BH = BD . Chứng minh
a) DH ^ AC.	b) CH ^ AD.
Bài 8. Cho tam giác MNP vuông tại M	(MP < MN ) . Trên cạnh MN lấy điểm Q sao cho
MQ = MP , trên tia đối của tia MP lấy điểm R sao cho MR = MN . Chứng minh:
PQ ^ NR .
RQ ^ NP .
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A , kẻ đường phân giác BM . Trên cạnh BC lấy điểm D
sao cho BD = BA .
Chứng minh BM ^ AD .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC, K là hình chiếu vuông góc của A trên DM .
Chứng minh ba đường thẳng AK, BM , DH đồng quy.
Bài 10. Đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B (MA < MB). Vẽ tia đó lấy hai điểm C và
D sao cho
AE ^ BD
MA = MC , MD = MB. Tia AC vuông cắt BD tại E . Chứng minh:
C là trực tâm của tam giác ABD
Bài 11. Cho góc nhọn xOy . Trên tia Ox lấy điểm A , trên tia Oy lấy điểm B sao cho
OA = OB. Kẻ AC ^ Oy, BD ^ Ox (C ÎOx, D ÎOy) . Đường thẳng vuông góc với Ox tại A và
đường thẳng vuông góc với Oy tại B cắt nhau tại M . Chứng minh: OM , AC, BD đồng quy.
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là đường phân giác. Trên cạnh BC lấy điểm E
sao cho
BA = BE. Vẽ CH ^ DB. Chứng minh rằng
BA, DE,CH đồng quy.
Dạng 3. Vận dụng tính chất ba đường cao trong tam giác để giải quyết các bài toán khác
Bài 1. Cho
DABC
đều. Ba đường cao
AM , BN,CP cắt nhau tại O . Chứng minh rằng:
OA = OB = OC .
O là trọng tâm của
AM = BN = CP

DABC
Bài 2. Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Bài 3. Chứng minh rằng một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
Bài 4. Cho
DABC
vuông tại A , kẻ đường cao AH và trung tuyến AM . Chứng minh trực tâm
của
DABC , DMAB
và DMAC
thẳng hàng.
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A . Đường cao
AH. Lấy I là trung điểm của
AC.
Chứng minh I là giao điểm của 3 đường trung trực DAHC
Gọi K và D lần lượt là trung điểm của AH và
Chứng minh BK ^ AD .
HC. Chứng minh
KD // AC .
Bài 6. Cho tam ABC cân tại
A, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại
I (D Î
AC, E Î AB) . Tia
AI cắt BC tại M . Chứng minh
M là trung điểm của
BC.
Tam giác MED là tam giác cân.
Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A,

đường trung tuyến AM và đường phân giác BD cắt nhau
tại
K. Gọi E là giao điểm của CK và
AB. Chứng minh
BD = CE.
Bài 8. Cho tam giác
ABC. Hai đường cao
AH , BK cắt nhau tại I.
Chứng minh rằng CI ^ AB.
Khi
ACH = 50°, hãy tính các góc
BIH , HIK.
Bài 9. Cho tam giác ABC cân tại A. Hai đường cao xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại
M . Biết góc
BMC = 120°, tính các góc của tam giác
ABC.
Bài 10. Cho tam giác ABC cân tại
A, M là trung điểm của
B,C. Gọi H và K lần lượt là chân
các đường vuông góc kẻ từ M đến AB và
Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
AC. Chứng minh
MH = MK.
BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC
Dạng 1. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Bài 1. Cho D ABC cân tại A , đường trung tuyến AM . Đường trung trực của AB cắt AM ở O
. Chứng minh rằng điểm O cách đều ba đỉnh của DABC
Bài 2. Cho D ABC cân tại A , O là giao điểm của ba đường trung trực. Lấy điểm D trên cạnh
AB , điểm E trên cạnh sao cho AD = CE . Chứng minh rằng
OA = OB = OC .
Điểm O nằm trên đường trung trực của DE .
Bài 3. Nhà bạn Nam có một mảnh vườn nhỏ trồng hoa và cỏ nhật. Bố của bạn Nam nhờ Nam chọn vị trí để đặt vòi xoay phun tưới cây tự động sao cho vị trí đó cách đều ba khóm hoa ở ba góc vườn nhưng Nam lại chưa biết tìm như thế nào. Các em hãy giúp bạn Nam giải quyết vấn đề này nhé.
Bài 4. Ông Hùng có ba cửa hàng A, B, C không nằm trên một đường thẳng và đang muốn tìm
địa điểm O để làm kho hàng. Phải chọn vị trí của kho hàng ở đâu để khoảng cách từ kho đến các cửa hàng bằng nhau?
Dạng 2. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng
Bài 5. Cho tam giác ABC cân ở
AC cắt nhau tại O.
A, đường phân giác
AK.
Các đường trung trực của AB và
Chứng minh rằng ba điểm A, K, O thẳng hàng.
Kéo dài CO cắt AB ở
D, kéo dài BO cắt AC ở
E. Chứng minh rằng AK và các đường
trung trực của AD và AE đồng quy.
Bài 6.	Cho
xOy = 90
và điểm P nằm trong góc đó. Trên mặt phẳng đó lấy điểm A sao cho
Ox là đường trung trực của đoạn thẳng PA và điểm B sao cho Oy là đường trung trực của đoạn thẳng PB .
Chứng minh ba điểm O, A, B thẳng hàng.
Chứng minh O là giao điểm của ba đường trung trực của
DABP
từ đó suy ra
DABP
vuông.
Bài 7. Cho tam giác MNP cân ở M , đường cao MH . Các đường trung trực của MN và MP
cắt nhau ở D . Chứng minh ba điểm M , D, H thẳng hàng.
Bài 8. Cho tam giác ABC cân có A là góc tù. Gọi M là trung điểm của BC . N nằm trong tam giác ABC sao cho tam giác BNC cân tại N . Chứng minh đường thẳng AM và các đường
trung trực của NB, NC đồng quy.
Dạng 3. Vận dụng tính chất ba đường trung trực trong tam giác để giải quyết các bài toán khác
Bài 9. Cho
DABC có
Aˆ =110° . Các đường trung trực của cạnh AB và AC lần lượt cắt BC ở
E và F . Tính EAF .
Bài 10. Cho
DABC
cân tại A ,
A > 900 . Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau tại
O và cắt BC tại D và E . Chứng minh rằng:
OA là đường trung trực của BC .
BD = CE .
DODE là tam giác cân.
Bài 11.	Cho M là giao điểm 3 đường trung trực của tam giác ABC . Chứng minh rằng nếu
M nằm trên một cạnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông.
Bài 12. Cho
DABC , đường phân giác
AI ( I Î BC ) . Trên đoạn thẳng IC lấy điểm H , từ H kẻ
đường thẳng song song với AI cắt AB kéo dài tại E và cắt AC tại F . Chứng minh rằng:
Đường trung trực của đoạn thẳng EF đi qua đỉnh A của
Đường trung trực của đoạn thẳng EF vuông góc với AI .
DABC .
Khi H di động trên tia IC của định.
DABC
cố định thì đường trung trực của đoạn thẳng EF cố
Bài 13.	Cho
DABC
có ba góc nhọn. Các điểm
F, K , I lần lượt là trung điểm các cạnh
BC, BA, AC . Gọi H là giao điểm các đường trung trực DABC . Trên tia đối của tỉa FH lấy
điểm
A1 sao cho
A1F = FH . Trên tia đối của tia KH lấy điểm C1
sao cho
KH = KC1. Trên tia
đối của tia IH lấy điểm
B1 sao cho
IH = IB1 .
Chứng minh rằng hình lục giác một song song.
AC1BA1CB1 có 6 cạnh bằng nhau và 2 trong 6 cạnh đó đôi
Chứng minh rằng:
DABC
= DA1B1C1

BA ĐƯỜNG CAO
Dạng 1. Xác định trực tâm của một tam giác
Bài 14. Cho
DABC , các đường cao
AK, BN,CM . Điểm H là trực tâm của tam giác. Tìm trực
tâm của
DBHC ,
DAHC ,
DAHB .
Bài 15. Cho tam giác ABC , hai đường cao BD và CE . Gọi M là trung điểm của minh M thuộc trung trực của DE .
BC. Chứng
Bài 16. Đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B (MA < MB). Vẽ tia Mx vuông AB lấy
hai điểm C và D sao cho
AE ^ BD
MA = MC , MD = MB. Tia AC vuông cắt BD tại E . Chứng minh
C là trực tâm của tam giác DABD .
Dạng 2. Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ba đường thẳng đồng quy
Bài 17. Cho tam giác LMN nhọn và điểm S nằm trong tam giác. Gọi LS cắt MN tại P , MS cắt LN tại Q . Chứng minh rằng nếu LP vuông góc với MN và MQ vuông góc với LN thì NS vuông góc với ML .
Bài 18. Cho
NK ^ MP
Bài 19. Cho
DMNP
DABC
cân tại M , đường cao PQ cắt đường phân giác MS ở K . Chứng minh
vuông tại A , kẻ đường cao AH . Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng HC . Qua
K kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AH tại D . Chứng minh AK ^ CD .
Bài 20. Cho
DMNP
vuông tại
M (MP < MN ) . Trên cạnh MN lấy điểm Q sao cho MQ = MP ,
trên tia đối của tia MP lấy điểm R sao cho MR = MN . Chứng minh:
PQ ^ NR .
RQ ^ NP .
Dạng 3. Vận dụng tính chất ba đường cao trong tam giác để giải quyết các bài toán khác
Bài 21. Cho
DMNP có ba góc nhọn, các đường cao
NQ, PR cắt nhau tại S.
Chứng minh MS ^ NP .
Cho MNP = 650 . Tính SMR .
Bài 22. Cho
BD = BA .
DABC
vuông tại A , kẻ đường phân giác BM . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho
Chứng minh BM ^ AD .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC , K là hình chiếu vuông góc của A trên DM
. Chứng minh ba đường thẳng AK, BM , DH đồng quy.