Giáo án ôn tập Hình học 7 (Kết nối tri thức với cuộc sống) - Chuyên đề 35: Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao của tam giác

CHUYÊN ĐỀ 35.
SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
Đường trung trực của tam giác:
Định nghĩa: Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh được gọi là đường trung trực của tam giác đó.
Định lí 1: Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác.
Nhận xét: Vì giao điểm của ba đường trung trực của tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác nên là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh tam giác đó.
Tính chất: ΔABC cân tại A , AM là đường trung tuyến thì nó cũng là đường trung trực của BC
Cụ thể:
Cho
DABC , (d ) là đường trung trực của cạnh BC thì (d ) gọi là đường trung trực của
DABC
ứng với cạnh BC .
A
d
B	C
Trong hình sau, điểm O là giao điểm các đường trung trực của DABC. Ta có OA = OB = OC.
Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC.
A
O
B	C
ΔABC cân tại A , AM là đường trung tuyến thì cũng là đường trung trực của BC
A
C	M	B
Đường cao của tam giác:
Định nghĩa: Đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh tam giác và vuông góc với cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó.
Định lí 2: Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác.
Cụ thể:
AH là một đường cao của DABC Û AH ^ BC
A
B	H	C
Trong hình vẽ AD, BE,CF là các đường cao, H là trực tâm của DABC .
A
E
F
H
B	D	C
Chú ý:
DABC là tam giác nhọn thì H nằm trong tam giác.
A
K
L
H
B	H	C
DABC là tam giác vuông tại A thì điểm H trùng với điểm A .
I
B
A≡H	C
DABC là tam giác tù thì điểm H nằm ngoài tam giác.
H
K
L
A
B	I	C
Bổ sung:
Tính chất trong tam giác cân: ΔABC cân tại A, AM là đường cao thì nó cũng là đường trung trực, đường trung tuyến, đường phân giác.
A
B	M	C
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC
Dạng 1. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Phương pháp giải:
Dựa vào định nghĩa và sự đồng quy của ba đường trung trực trong tam giác.
Sử dụng tính chất giao điểm các đường trung trực trong tam giác thì cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Cho
DABC , (d ) là đường trung trực của cạnh BC thì (d ) gọi là đường trung trực của
DABC
ứng với cạnh BC .
A
d
B	C
Điểm O là giao điểm các đường trung trực của DABC. Ta có OA = OB = OC. Điểm O là tâm
đường tròn ngoại tiếp DABC.
A
O
B	C
Bài toán.
Bài 1. Chọn đáp án đúng. Điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác là giao điểm của:
3 đường trung tuyến.
3 đường phân giác.
3 đường trung trực.
3 đường cao.
Lời giải:
Bài 2. Chọn đáp án đúng.
Cho
DABC
tù, giao điểm 3 đường trung trực của tam giác nằm:
trong DABC .
ngoài DABC .
trên 1 cạnh của DABC .
trùng với 1 đỉnh của DABC .
Cho
DABC có
A = 90° thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác:
nằm trong
nằm ngoài
DABC
DABC
là trung điểm của cạnh BC
trùng với đỉnh A của DABC
Cho
DABC
nhọn, giao điểm 3 đường trung trực của tam giác nằm:
trong
ngoài
DABC
DABC
trên một cạnh của DABC
trùng với một đỉnh của DABC

Lời giải:
Bài 3. Cho ΔABC . Vẽ điểm O cách đều ba đỉnh A, B, C và vẽ đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác trong mỗi trường hợp sau:
a, ΔABC là tam giác nhọn. b, ΔABC vuông tại A .
c, ΔABC là tam giác tù.
Lời giải:
Bài 4. Cho đó.
A, B, C là ba điểm phân biệt không thẳng hàng. Xác định đường tròn đi qua ba điểm
Lời giải:
Bài 5. Cho

DABC có
A > 90° . Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau ở O và cắt
BC theo thứ tự ở D và E . Nối
AD, AE,OB,OC . Tìm tam giác bằng
Lời giải:
DOAD , bằng
DOAE.
Bài 6. Cho
DABC
vuông tại A , đường cao AH . Tia phân giác của các góc BAH và CAH cắt
BC lần lượt ở D và E . Gọi O là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABC .
Chứng minh rằng đường tròn tâm O , bán kính OA đi qua ba điểm
Tính số đo góc DOE .
A, D, E .
Lời giải:
Bài 7. Tam giác ABC có A là góc tù. Các đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau ở O. Các điểm B và C có thuộc đường tròn tâm O bán kính OA hay không? Vì sao?
Lời giải
Bài 8. Cho
DABC
có ba góc nhọn, O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC . Trên
tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho OB = OD .
Chứng minh O thuộc đường trung trực của AD và CD .
Chứng minh các
DABD ,
DCBD vuông.
Biết
ABC = 70° . Hãy tính số đo ADC .

Lời giải
Bài 9. Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại O . Biết rằng điểm O cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC . Chứng minh tam giác ABC đều.
F
E
O
A
B	C
D
Lời giải:
Bài 10. Cho

DABC

đều. Trên cạnh

AB, BC,CA lấy theo thứ tự ba điểm

M , N, P sao cho
AM = BN = CP
Chứng minh

DMNP

là tam giác đều
Gọi O là giao điểm các đường trung trực của DABC .
Chứng minh rằng điểm O cũng là giao điểm các đường trung trực của
Lời giải:
DMNP
Bài 11. Trong một buổi tổng vệ sinh sân trường, 3 tổ cần dọn cỏ và rác của 3 bồn cây A, B, C
ở 3 góc sân trường. Em hãy giúp 3 tổ chọn một vị trí O để đặt chiếc xe đẩy rác sao cho vị trí chiếc xe cách đều 3 bồn cây đó.
Lời giải:
Dạng 2. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng
Phương pháp giải:
Dựa vào định lí, tính chất về đường trung trực và sự đồng quy của ba đường trung trực trong tam giác.
Bài toán.
Bài 1. Cho
DABC
cân tại A . Dựng tam giác BCD cân tại D biết D khác phía với A đối với
đường đường thẳng BC . Gọi O là giao điểm của	AB và AC . Chứng minh rằng hàng.
A,O, D thẳng
Lời giải:
Bài 2. Cho
DABC
cân tại A . Gọi M là trung điểm của BC . Các đường trung trực của AB và
AC cắt nhau ở E . Chứng minh ba điểm

A, E, M thẳng hàng.

Lời giải:
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi G là trọng tâm, O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC .
Tam giác BOC là tam giác gì?
Chứng minh ba điểm
A,O,G thẳng hàng?
Lời giải:
Bài 4. Cho tam giác ABC cân ở A . Gọi M là trung điểm của BC . Các đường trung trực của
AB, AC cắt nhau ở E . Chứng minh ba điểm A, E, M thẳng hàng.
Lời giải:
Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A . Lấy điểm D sao cho tam giác BCD cân tại D ( D và A nằm khác phía đối với đường thẳng BC ). Chứng minh các đường trung trực của AB và AC đồng quy với đường thẳng AD
Lời giải:
Bài 6. Cho DABC vuông ở A , D là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC .
Chứng minh
B, D,C thẳng hàng.

Lời giải:
Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A . M là trung điểm của BC . Kẻ ME vuông góc AB tại
E, MF vuông góc với AC tại F .
Chứng minh rằng AM là đường trung trực của EF ?
Kẻ đường thẳng d vuông góc AB tại B , kẻ đường thẳng d / vuông góc với AC tại C , hai
đường thẳng d và d /
giao nhau giao tại D . Chứng minh rằng ba điểm
Lời giải:
A, M , D thẳng hàng?
Bài 8. Cho tam giác nhọn ABC . Gọi H ,G,O theo thứ tự là trực tâm, trọng tâm, giao điểm ba
đường trung trực của tam giác. Tia AG cắt BC ở M . Gọi I là trung điểm của điểm của GH . Chứng minh:
OM = 1 AH
2
GA, K là trung
DIGK = DMGO
Ba điểm H ,G,O thẳng hàng
GH = 2GO
Lời giải:
Bài 9. Cho tam giác ABC cân ở A , đường phân giác AK . Các đường trung trực của AB và
AC cắt nhau tại O . Kéo dài CO cắt AB ở D , kéo dài BO cắt AC ở E .
Chứng minh ba điểm A, K ,O thẳng hàng.
Chúng minh AK và các đường trung trực của AD và AE đồng quy.
Lời giải:
Dạng 3. Vận dụng tính chất ba đường trung trực trong tam giác để giải quyết các bài toán khác
Phương pháp giải:
Dựa vào tính chất về đường trung trực và sự đồng quy của ba đường trung trực trong tam giác.
Điểm M nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó:
d
M
A
I
B
ΔABC cân tại A, AM là đường trung tuyến thì cũng là đường trung trực của BC
A
C	M	B
Bài toán.
Bài 1. Cho
DABC
cân tại A , đường trung tuyến AM . Đường trung trực của AC cắt đường
thẳng AM tại D . Chứng minh rằng DA = DB .
Lời giải:
Bài 2. Cho tam giác cân ABC có AB = AC . Hai đường trung trực của hai cạnh nhau tại O . Chứng minh: AOB = AOC .
AB; AC cắt
Lời giải:
Bài 3. Cho
DABC , M là trung điểm của
BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau
tại O. Tính số đo góc OMB.
Lời giải:
Bài 4. Cho
DABC
có góc
A = 110°. Đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau tại I.
Chứng minh
DBIC
cân.
Chứng minh
BIC = 2(180°- BAC) và tính số đo góc
Lời giải:

BIC.
Bài 5. Cho
DABC có
Aˆ = 60°. Các đường trung trực của cạnh AB và AC lần lượt cắt BC ở E
và F . Tính EAF .
Lời giải:
Bài 6. Cho
DABC
cân tại A . Đường trung tuyến AM cắt đường trung trực của AC tại K .
Chứng minh rằng
KA = KB = KC.

Lời giải
Bài 7. Cho
DABC
cân tại A ,
A > 900 . Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau tại O
và cắt BC tại D và E . Chứng minh rằng:
OA là đường trung trực của BC .
BC = CE .
DODE
là tam giác cân.

Lời giải:
Bài 8. Chứng minh rằng các đường trung trực của tam giác vuông cắt nhau tại trung điểm của cạnh huyền.
Lời giải:
Bài 9. Cho tam giác đều ABC . Gọi D và E là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AB và AC sao cho BD = AE . Chứng minh rằng các đường trung trực của đoạn thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định khi D và E di chuyển trên các cạnh AB và AC .
Lời giải:
Bài 10. Cho DABC , AC > AB . Hai điểm D và E theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB và
AC sao cho BD = CE . Chứng minh rằng các đường trung trực của DE luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải:
BA ĐƯỜNG CAO
Dạng 1. Xác định trực tâm của một tam giác
Phương pháp giải:
Để xác định trực tâm của một tam giác, ta cần tìm giao điểm hai đường cao của tam giác đó
Dựa vào định nghĩa, định lí và nhận xét, tính chất về đường cao và sự đồng quy của ba đường cao trong tam giác.
AH là một đường cao của DABC Û AH ^ BC
A
B	H	C
Trong hình vẽ AD, BE,CF là các đường cao, H là trực tâm của DABC .
A
E
F
H
B	D	C
Chú ý:
DABC là tam giác nhọn thì H nằm trong tam giác.
A
K
L
H
B	H	C
DABC là tam giác vuông tại A thì điểm H trùng với điểm A .
I
B
A≡H	C
DABC là tam giác tù thì điểm H nằm ngoài tam giác.
H
K
L
A
B	I	C
Bài toán.
Bài 1. Cho
DABC có
ABC = 90°, AH ^ BC . Em chọn phát biểu đúng:
H là trực tâm của
A là trực tâm của
B là trực tâm của
C là trực tâm của
DABC
DABC
DABC
DABC

Lời giải:
Bài 2. Cho DABC , hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H . Em chọn phát biểu đúng:
H là trọng tâm của DABC .
HA = 2 AM
3
và HB = 2 BN
3
H là trực tâm của
DABC ; CH là đường cao của
DABC .
CH là đường trung trực của
DABC .

Lời giải:
Bài 3. Cho
DABC
cân tại A có AM ^ BC
tại M . Chọn phát biểu đúng:
AM là đường trung tuyến của DABC
AM là đường trung trực của BC .
AM là đường phân giác của BAC .
Cả A, B, C đều đúng.

Lời giải:
Bài 4. Cho
D . Khi đó
DABC
vuông tại A . Lấy H thuộc AB , vẽ HE ^ BC ở E . Tia EH cắt tia CA tại
H là trọng tâm của DBCD .
H là trực tâm của DBCD .
H là giao ba đường trung trực của
H là giao ba đường phân giác của
DBCD .
DBCD .
Lời giải:
Bài 5. Cho tam giác
DAHB, DAHC .
DABC
vuông tại
A, đường cao AH . Tìm trực tâm của các giác
DABC,
Lời giải:
Bài 6. Cho H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác
HBC, HAB, HAC
Lời giải
Bài 7. Cho
DABC có
A = 700 , AB < AC , đường phân giác góc A cắt BC tại D , BF ^ AC
tại
F , H là giao điểm của BF và AD , E thuộc AC sao cho AE = AB .
Xác định trực tâm của
Tính số đo DHF .
DABE .

Lời giải
Dạng 2. Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ba đường thẳng đồng quy
Phương pháp giải:
Nếu H là giao điểm hai đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC thì AH ^ BC . Nếu ba đường thẳng là ba đường cao của một tam giác thì chúng cùng đi qua một điểm.
Bài toán.
Bài 1. Cho
DABC
cân tại A , đường cao BE cắt đường trung tuyến AD ở H . Chứng minh CH
tạo với AB một góc 90.
Lời giải
Bài 2. Cho tam giác
DABC
cân tại A . đường cao CH cắt tia phân giác của góc A tại D .
Chứng minh rằng BD ^ AC .
Lời giải
Bài 3. Cho
DMNP
vuông tại M . Trên cạnh MN lấy điểm Q , kẻ QR ^ NP ( R ÎNP) . Gọi O là
giao điểm của các đường thẳng PM và RQ . Chứng minh PQ ^ ON .
Lời giải:
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A . Lấy điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Kẻ đường
cao AE của tam giác ABC , đường cao AF của tam giác ACD . Chứng minh rằng AE ^ AF.
Lời giải:
Bài 5. Cho tam giác MNP có ba góc nhọn, các đường cao
Chứng minh MS ^ NP .
Cho MNP = 65°. Tính SMR .
NQ, PR cắt nhau tại S .
Lời giải:
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A , kẻ đường cao AH . Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng
HC . Qua K kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AH tại D . Chứng minh AK ^ CD .
Lời giải:
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông cân tại
B. Trên cạnh AB lấy điểm
H.Trên tia đối của tia BC
lấy điểm D sao cho BH = BD . Chứng minh
Lời giải:
a) DH ^ AC.	b) CH ^ AD.
Bài 8. Cho tam giác MNP vuông tại M	(MP < MN ) . Trên cạnh MN lấy điểm Q sao cho
MQ = MP , trên tia đối của tia MP lấy điểm R sao cho MR = MN . Chứng minh:
PQ ^ NR .
RQ ^ NP .
Lời giải:
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A , kẻ đường phân giác BM . Trên cạnh BC lấy điểm D
sao cho BD = BA .
Chứng minh BM ^ AD .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC, K là hình chiếu vuông góc của A trên DM .
Chứng minh ba đường thẳng
AK, BM , DH đồng quy.
Lời giải:
31
Bài 10. Đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B (MA < MB). Vẽ tia đó lấy hai điểm C và
D sao cho
AE ^ BD
MA = MC , MD = MB. Tia AC vuông cắt BD tại E . Chứng minh:
C là trực tâm của tam giác ABD
Lời giải:
Bài 11. Cho góc nhọn xOy . Trên tia Ox lấy điểm A , trên tia Oy lấy điểm B sao cho
OA = OB. Kẻ AC ^ Oy, BD ^ Ox (C ÎOx, D ÎOy) . Đường thẳng vuông góc với Ox tại A và
đường thẳng vuông góc với Oy tại B cắt nhau tại M . Chứng minh: OM , AC, BD đồng quy.
Lời giải:
Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là đường phân giác. Trên cạnh BC lấy điểm E
sao cho
BA = BE. Vẽ CH ^ DB. Chứng minh rằng
BA, DE,CH đồng quy.
Lời giải: