Giáo án ôn tập Hình học 7 (Kết nối tri thức với cuộc sống) - Chuyên đề 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến (Tiếp theo)

Dạng 2. Chứng minh 3 đường đồng quy, 3 điểm thẳng hàng
Phương pháp giải:
Sử dụng các tính chất:
+ Giao điểm của hai đường phân giác của hai góc trong tam giác nằm trên đường phân giác của góc thứ ba.
+ Giao điểm của các đường phân giác của một tam giác cách đều ba cạnh của tam giác
Bài toán.
Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ các tia phân giác BD, CE. Lấy M là trung điểm của BC.
Chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC.
Ba đường thẳng AM, BD, CE đồng quy.
Lời giải
Bài 2. Cho tam giác ABC , tia phân giác AD . Các tia phân giác ngoài tại đỉnh B và C cắt
nhau ở E . Chứng minh ba điểm
Lời giải
A, D, E thẳng hàng.
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi G là trọng tâm, I là điểm nằm trong tam giác và
cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba điểm
Lời giải
A, G, I thẳng hàng.
Bài 4. Cho tam giác ABC cân ở A có BM , CN	là hai đường trung tuyến cắt nhau ở điểm
G .
Chứng minh rằng: AG là tia phân giác của góc BAC .
CMR: GM = GN
CMR: đường thẳng AG là đường trung trực của đoạn thẳng MN .
CMR: đường thẳng AG là đường trung trực của đoạn thẳng BC .
Gọi P là trung điểm BC . CMR:
Lời giải
A, G, P thẳng hàng.
Bài 5. Cho tam giác ABC . Phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại I . Phân giác các góc ngoài tại đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại J , phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và đỉnh C cắt nhau tại K , phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và đỉnh B cắt nhau tại L .
Chứng minh BIC = 90° + A
2
Chứng minh ba điểm A, I , J thẳng hàng
Chứng minh
Lời giải
AJ , BK, CL cắt nhau tại một điểm.
Bài 6. Cho tam giác ABC có A = 120° . Các tia phân giác của góc A và C cắt nhau ở O , cắt
cạnh BC và AB	lần lượt ở D và E . Đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B của tam giác
ABC cắt đường thẳng AC ở F . Chứng minh:
BO ^ BF
BDF = ADF
Ba điểm
Lời giải
D, E, F thẳng hàng.
Dạng 3. Đường phân giác đối với tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều)
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất: trong tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh cũng đồng thời là đường trung tuyến, đường cao.
Bài toán.
Bài 1. Cho
DABC
cân tại A , đường phân giác AM . Gọi D là một điểm nằm giữa
A và M .
Khi đó
DBDC
là tam giác gì?
Lời giải
Bài 2. Cho tam giác MNP cân tại M có G là trọng tâm. I là điểm nằm trong tam giác và cách
đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba điểm
Lời giải
M , G, I thẳng hàng.
Bài 3. Tam giác ABC cân tại A . Tia phân giác của góc A cắt đường trung tuyến BD tại K .
Gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh rằng ba điểm
Lời giải
I , K ,C thẳng hàng.
Bài 4. Chứng minh rằng trong tam giác cân, trung điểm của cạnh đáy cách đều hai cạnh bên.
Lời giải
Bài 5. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM là đường phân giác của góc A . Chứng minh tam giác ABC cân tại A .
Lời giải
Bài 6. Cho
DABC có
AH ^ BC và BAH = 2C . Tia phân giác của góc B cắt AC tại E . Tia
phân giác của góc BAH cắt BE ở I . Chứng minh
Lời giải
DAIE
là tam giác vuông cân tại E
Bài 7. Cho tam giác ABC cân ở A có M là trung điểm cạnh BC và BD là đường phân giác ( D thuộc AC ). AM	và BD giao nhau ở điểm I .
CMR: Tia CI là tia phân giác của góc ACB .
CMR: Tam giác BIC là tam giác cân.
Gọi E là giao điểm của tia CI	với cạnh AB . Chứng minh rằng: ED//BC
Gọi H là giao điểm của AM	và ED . CMR: H là trung điểm của ED .
CMR: AM ^ ED
Tìm điều kiện của tam giác ABC để điểm I và trọng tâm G của tam giác ABC trùng nhau.
Lời giải
Dạng 4. Chứng minh mối quan hệ giữa các góc
Phương pháp giải:
Vận dụng các tính chất tia phân giác của một góc để tìm mối liên hệ giữa các góc.
Dùng định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°.
Bài toán.
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I . Chứng minh rằng:
IAB + IBC + IAC = 90°
Lời giải
Bài 2. Cho tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I và AB < AC .
Chứng minh rằng: CBI > ACI
So sánh IB và IC
Lời giải
Bài 3. Cho hình vẽ.
Chứng minh DABD = DACD
So sánh góc DBC và góc
DCB.
A
D
B	C
Lời giải
Bài 4. Cho
DABC
hai đường phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I . Chứng minh rằng:
BIC = 90° + A
2
Lời giải
Bài 5. Cho tam giác ABC có B > C . Từ đỉnh A kẻ đường cao AH và tia phân giác AD .
Biết B = 70°, C = 50° , tính số đo HAD .
Chứng minh
Lời giải
HAD = B - C
2
Bài 6. Cho
DABC
các tia phân giác góc B và C cắt nhau ở O . Gọi
D, E, F lần lượt là chân
đường vuông góc kẻ từ O đến
Chứng minh: OD = OE = OF
BC,CA, AB (D Î BC, E Î AC, F Î AB) . Tia AO cắt BC ở M .
So sánh DOB và MOC ? MOB và DOC ?
Lời giải
Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc
Bài 1. Cho hình vẽ:
H là giao điểm của hai đường phân giác xuất phát từ N và P của tam giác MNP .
Chứng minh rằng điểm H cách đều hai cạnh
MN, MP
Tính số đo HMN , NHP ?
Bài 2. Cho
DABC
vuông ở A
Các tia phân giác góc B và C cắt nhau ở I .Gọi D, E, F là hình chiếu của điểm I
xuống AB, AC, BC
Chứng minh rằng AD = AE
Trong trường hợp
DABC cân ở A . Chứng minh
DDEF cân
Bài 3. Cho DABC , các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau ở I
Biết
Biết
A = 80° , tính số đo góc BIC .
BIC = 120° , tính số đo góc A .
Bài 4. Cho
DABC có
A = 90° các tia phân giác của B và C cắt nhau tại
Gọi
D, E là chân
các đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh
AB và AC.
Biết ID = 3cm . Tính IE ?
Biết
ID = x + 2 ,
IE = 2x - 4 . Tìm x ?
Dạng 2. Chứng minh 3 đường đồng quy, 3 điểm thẳng hàng Bài 1. Cho hình vẽ :
CMR: A, B, C thẳng hàng.
Bài 2. Cho tam giác ABC cân ở A có BM , CN	là hai đường trung tuyến cắt nhau ở điểm
G .
Chứng minh rằng: AG là tia phân giác của góc BAC .
CMR: GM = GN
CMR: đường thẳng AG là đường trung trực của đoạn thẳng MN .
CMR: đường thẳng AG là đường trung trực của đoạn thẳng BC .
Gọi P là trung điểm BC . CMR: A, G, P thẳng hàng.
Bài 3. Cho
DABC các tia phân giác góc B và C cắt nhau tại I .Các đường phân giác góc ngoài
tại đỉnh B và C cắt nhau ở K .Chứng minh ba điểm A, I, K thẳng hàng
Bài 4. Cho tam giác ABC có
A = 120° . Các tia phân giác của góc A và C cắt nhau ở O , cắt
cạnh BC và AB	lần lượt ở D và E . Đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B	của tam giác
ABC cắt đường thẳng AC ở F . Chứng minh:
BO ^ BF
BDF = ADF
Ba điểm D, E, F thẳng hàng.
Dạng 3. Đường phân giác đối với tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều) Bài 1. Chứng minh rằng:
Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đường trung trực của cạnh đáy.
Nếu tam giác có 1 đường vừa là đường trung trực của 1 cạnh, vừa là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
Bài 2. Cho tam giác ABC	cân ở A có M	là trung điểm cạnh BC	và BD	là đường phân giác ( D thuộc AC ). AM	và BD giao nhau ở điểm I .
CMR: Tia CI là tia phân giác của góc ACB .
CMR: Tam giác BIC là tam giác cân.
Gọi E là giao điểm của tia CI với cạnh AB . Chứng minh rằng: ED // BC .
Gọi H là giao điểm của AM	và ED . CMR: H là trung điểm của ED .
CMR: AM ^ ED
Tìm điều kiện của tam giác ABC	để điểm I	và trọng tâm G	của tam giác ABC	trùng nhau.
Bài 3. Cho tam giác ABC cân ở A có đường phân giác AD	( D Î BC )
và đường trung tuyến
BE	( E Î AC )
cắt nhau tại O .
Chứng minh: O là trọng tâm DABC
Tam giác ABC	cần có thêm điều kiện gì để O cũng là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác ABC ?
Bài 4. Cho DABC cân ở A .Gọi G là trọng tâm tam giác, I là giao điểm các phân giác của tam
giác, K là giao điểm hai đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B và C .Chứng minh rằng bốn
điểm A,G, I , K thẳng hàng.
Dạng 4. Đường phân giác đối với tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều) Bài 1.
Cho
DABC
có góc
A = 120° các phân giác
AD, BE,CF
Chứng minh rằng DE là tia phân giác góc ngoài đỉnh D của DABD
Chứng minh rằng EDF = 90°
Bài 2. Cho
DABC ,
A = 120° .Các tia phân giác góc
A ; C cắt nhau ở O , cắt các cạnh
BC; AB
lần lượt ở D và E . Đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B của
F . Chứng minh:
BO ^ BF
DABC
cắt đường thẳng AC ở
BDF = ADF
DEA + FEA = 180°
ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc
Bài 1.
Bài 2.
Bài 3.
Bài 4.
Dạng 2 . Đường phân giác đối với tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều)
Bài 1:
Bài 2.
Bài 3.
Bài 4.
Dạng 3 . Đường phân giác đối với tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều) Bài 1.
Bài 2.
Bài 3.
Bài 4.
Dạng 4.
Bài 1.
Bài 2.
PHIẾU BÀI TẬP
Dạng 1. Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc
Bài 1. Tìm x trong mỗi hình vẽ sau biết CI và BI là hai phân giác của ACB và ABC , EH và
FH là hai phân giác của DEF và DFE .
Bài 2. Cho
DABC có
A = 120°. Các đường phân giác
AD, BE. Tính số đo góc BED .
Bài 3. Cho
DABC
. Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác kẻ từ góc B và C . Tính số
đo góc BIC	trong các trường hợp:
a) BAC = 80°	b) BAC = 120°
Bài 4. Cho DABC , các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau ở I
Biết
Biết
A = 70° , tính số đo góc BIC .
BIC = 140° , tính số đo góc A .
Bài 5. Cho
DABC
cân tại A . Gọi D là trung điểm của BC ; E và F lần lượt là chân đường
vuông góc kẻ từ D đến AB, AC . Chứng minh rằng DE = DF .
Bài 6. Cho
DABC có
A = 90° các tia phân giác của B và C cắt nhau tại
. Gọi
D, E là chân
các đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh
AB và AC.
Biết ID = 2cm . Tính IE ?
Biết
ID = x + 3 ,
IE = 2x - 3 . Tìm x ?
Bài 7. Cho
DABC
gọi I là giao điểm của hai tia phân giác góc A và góc
B. Qua I kẻ đường
thẳng song song với BC , cắt AB tại M , cắt AC tại N. Chứng minh rằng MN = BM + CN
Dạng 2. Chứng minh 3 đường đồng quy, 3 điểm thẳng hàng
Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ các tia phân giác BD, CE. Lấy M là trung điểm của BC.
Chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC.
Ba đường thẳng AM, BD, CE đồng quy.
Bài 2. Cho tam giác ABC , tia phân giác AD . Các tia phân giác ngoài tại đỉnh B và C cắt
nhau ở E . Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi G là trọng tâm, I là điểm nằm trong tam giác và
cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba điểm A, G, I thẳng hàng.
Bài 4. Cho tam giác ABC cân ở A có BM , CN	là hai đường trung tuyến cắt nhau ở điểm
G .
Chứng minh rằng: AG là tia phân giác của góc BAC .
CMR: GM = GN
CMR: đường thẳng AG là đường trung trực của đoạn thẳng MN .
CMR: đường thẳng AG là đường trung trực của đoạn thẳng BC .
Gọi P là trung điểm BC . CMR: A, G, P thẳng hàng.
Bài 5. Cho tam giác ABC . Phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại I . Phân giác các góc ngoài tại đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại J , phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và đỉnh C cắt nhau tại K , phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và đỉnh B cắt nhau tại L .
Chứng minh BIC = 90° + A
2
Chứng minh ba điểm A, I , J thẳng hàng
Chứng minh AJ , BK, CL cắt nhau tại một điểm.
Bài 6. Cho tam giác ABC có
A = 120° . Các tia phân giác của góc A và C cắt nhau ở O , cắt
cạnh BC và AB	lần lượt ở D và E . Đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B của tam giác
ABC cắt đường thẳng AC ở F . Chứng minh:
BO ^ BF
BDF = ADF
Ba điểm D, E, F thẳng hàng.
Dạng 3. Đường phân giác đối với tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều)
Bài 1. Cho
DABC
cân tại A , đường phân giác AM . Gọi D là một điểm nằm giữa
A và M .
Khi đó
DBDC
là tam giác gì?
Bài 2. Cho tam giác MNP cân tại M có G là trọng tâm. I là điểm nằm trong tam giác và cách
đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba điểm M , G, I thẳng hàng.
Bài 3. Tam giác ABC cân tại A . Tia phân giác của góc A cắt đường trung tuyến BD tại K .
Gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh rằng ba điểm I , K ,C thẳng hàng.
Bài 4. Chứng minh rằng trong tam giác cân, trung điểm của cạnh đáy cách đều hai cạnh bên.
Bài 5. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM là đường phân giác của góc A . Chứng minh tam giác ABC cân tại A .
Bài 6. Cho
DABC có
AH ^ BC và BAH = 2C . Tia phân giác của góc B cắt AC tại E . Tia
phân giác của góc BAH cắt BE ở I . Chứng minh
DAIE
là tam giác vuông cân tại E
Bài 7. Cho tam giác ABC cân ở A có M là trung điểm cạnh BC và BD là đường phân giác ( D thuộc AC ). AM	và BD giao nhau ở điểm I .
CMR: Tia CI là tia phân giác của góc ACB .
CMR: Tam giác BIC là tam giác cân.
Gọi E là giao điểm của tia CI	với cạnh AB . Chứng minh rằng: ED//BC
Gọi H là giao điểm của AM	và ED . CMR: H là trung điểm của ED .
CMR: AM ^ ED
Tìm điều kiện của tam giác ABC để điểm I và trọng tâm G của tam giác ABC trùng nhau.
Dạng 4. Chứng minh mối quan hệ giữa các góc
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I . Chứng minh rằng:
IAB + IBC + IAC = 90°
Bài 2. Cho tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I và AB < AC .
Chứng minh rằng: CBI > ACI
So sánh IB và IC
Bài 3. Cho hình vẽ.
Chứng minh DABD = DACD
So sánh góc DBC và góc
DCB.
A
D
B	C
Bài 4. Cho
DABC
hai đường phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I . Chứng minh rằng:
BIC = 90° + A
2
Bài 5. Cho tam giác ABC có B > C . Từ đỉnh A kẻ đường cao AH và tia phân giác AD .
Biết B = 70°, C = 50° , tính số đo HAD .
Chứng minh
HAD = B - C
2
Bài 6. Cho
DABC
các tia phân giác góc B và C cắt nhau ở O . Gọi
D, E, F lần lượt là chân
đường vuông góc kẻ từ O đến
Chứng minh: OD = OE = OF
BC,CA, AB (D Î BC, E Î AC, F Î AB) . Tia AO cắt BC ở M .
So sánh DOB và MOC ? MOB và DOC ?
Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1.Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc
Bài 1. Cho hình vẽ:
H là giao điểm của hai đường phân giác xuất phát từ N và P của tam giác MNP .
Chứng minh rằng điểm H cách đều hai cạnh
MN, MP
Tính số đo HMN , NHP ?
Bài 2. Cho
DABC
vuông ở A
Các tia phân giác góc B và C cắt nhau ở I .Gọi D, E, F là hình chiếu của điểm I
xuống AB, AC, BC
Chứng minh rằng AD = AE
Trong trường hợp
DABC cân ở A . Chứng minh
DDEF cân
Bài 3. Cho DABC , các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau ở I
Biết
Biết
A = 80° , tính số đo góc BIC .
BIC = 120° , tính số đo góc A .
Bài 4. Cho
DABC có
A = 90° các tia phân giác của B và C cắt nhau tại
Gọi
D, E là chân
các đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh
AB và AC.
Biết ID = 3cm . Tính IE ?
Biết
ID = x + 2 ,
IE = 2x - 4 . Tìm x ?
Dạng 2. Chứng minh 3 đường đồng quy, 3 điểm thẳng hàng Bài 1. Cho hình vẽ :
CMR: A, B, C thẳng hàng.
Bài 2. Cho tam giác ABC cân ở A có BM , CN	là hai đường trung tuyến cắt nhau ở điểm
G .
Chứng minh rằng: AG là tia phân giác của góc BAC .
CMR: GM = GN
CMR: đường thẳng AG là đường trung trực của đoạn thẳng MN .
CMR: đường thẳng AG là đường trung trực của đoạn thẳng BC .
Gọi P là trung điểm BC . CMR: A, G, P thẳng hàng.
Bài 3. Cho
DABC các tia phân giác góc B và C cắt nhau tại I .Các đường phân giác góc ngoài
tại đỉnh B và C cắt nhau ở K .Chứng minh ba điểm A, I, K thẳng hàng
Bài 4. Cho tam giác ABC có
A = 120° . Các tia phân giác của góc A và C cắt nhau ở O , cắt
cạnh BC và AB
lần lượt ở D
và E
. Đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B
của tam giác
ABC
cắt đường thẳng AC
ở F . Chứng minh:
BO ^ BF
BDF = ADF
Ba điểm
D, E, F
thẳng hàng.
Dạng 3. Đường phân giác đối với tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều) Bài 1. Chứng minh rằng:
Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đường trung trực của cạnh đáy.
Nếu tam giác có 1 đường vừa là đường trung trực của 1 cạnh, vừa là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
Bài 2. Cho tam giác
ABC
cân ở
A có M
là trung điểm cạnh BC
và BD
là đường phân
giác ( D
thuộc
AC ). AM
và BD
giao nhau ở điểm I .
CMR: Tia CI
là tia phân giác của góc
ACB .
CMR: Tam giác
BIC
là tam giác cân.
Gọi E
là giao điểm của tia CI
với cạnh
AB . Chứng minh rằng: ED
// BC .
Gọi H
là giao điểm của AM
và ED
. CMR: H
là trung điểm của ED .
CMR: AM ^ ED
Tìm điều kiện của tam giác nhau.
ABC
để điểm I
và trọng tâm G
của tam giác
ABC
trùng
Bài 3. Cho tam giác
ABC
cân ở A
có đường phân giác
AD	( D Î BC )
và đường trung tuyến
BE	( E Î AC )
cắt nhau tại O .
Chứng minh: O
là trọng tâm
DABC
Tam giác
ABC
cần có thêm điều kiện gì để O
cũng là giao điểm 3 đường phân giác của
tam giác ABC ?
Bài 4. Cho
DABC cân ở
A .Gọi
G là trọng tâm tam giác,
I là giao điểm các phân giác của tam
giác, điểm
K là giao điểm hai đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B
A,G, I , K thẳng hàng.
và C .Chứng minh rằng bốn
Dạng 4. Đường phân giác đối với tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều) Bài 1.
Cho
DABC
có góc
A = 120° các phân giác
AD, BE,CF
Chứng minh rằng DE
là tia phân giác góc ngoài đỉnh D
của
DABD
Chứng minh rằng EDF = 90°
Bài 2. Cho
DABC ,
A = 120° .Các tia phân giác góc
A ; C cắt nhau ở O , cắt các cạnh
BC; AB lần
lượt ở D
và E .Đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B
của
DABC
cắt đường thẳng AC
ở F .
Chứng minh:
BO ^ BF
BDF = ADF
c) DEA + FEA = 180°