Giáo án ôn tập Hình học 7 (Kết nối tri thức với cuộc sống) - Chuyên đề 33: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

CHUYÊN ĐỀ 33: QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
*) Định lí: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.
A
C
B
Ba hệ thức:
AB < BC + AC, AC < AB + BC,
BC < AC + AB
gọi là các bất đẳng thức tam giác.
Tính chất: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại.
Nhận xét: Nếu kí hiệu
a, b, c là độ dài ba cạnh tùy ý của một tam giác thì:
b - c < a < b + c .
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Khẳng định có tồn tại hay không một tam giác biết độ dài ba cạnh
Phương pháp giải:
+ Tồn tại một tam giác có độ dài ba cạnh là
ï
ìa < b + c
a, b, c nếu:
íb < a + c
î
ïc < a + b
hoặc
b - c < a < b + c .
+ Trong trường hợp xác định được a là số lớn nhất trong ba số tam giác chỉ cần: a < b + c .
Bài toán.
a, b, c thì điều kiện để tồn tại
Bài 1. Bộ ba độ dài nào dưới đây có thể tạo thành độ dài của ba cạnh trong tam giác?
6cm; 8cm; 16cm
b) 5,5cm; 3,1cm; 2, 4cm
c) 13, 7cm; 8, 2cm; 5,3cm
d) 8m; 12m; 7m
Lời giải:
a) Không vì 16 > 8 + 6
b) Có vì 5,5 < 3,1+ 2, 4
c) Không vì 13, 7 > 8, 2 + 5,3
d) Có vì 12 < 7 + 8
Bài 2. Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây có thể tạo thành một tam giác hay không?
a) 3cm, 4cm, 6cm	b) 2m, 4m, 8 m	c) 1cm, 3cm, 4cm
Lời giải:
Ta có 6 < 3 + 4 nên bộ ba đoạn thẳng này có thể là ba cạnh của một tam giác.
Không vì 8 > 2 + 4 .
Không vì 4 = 1+ 3.
Bài 3. Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác.
a) 3cm, 3cm, 7 cm .	b) 6 m, 10 m, 8 m .	c) 2 m, 6 m, 8 m .
Lời giải:
Không vì 7 > 3 + 3 .
Ta có 10 < 6 + 8 nên bộ ba đoạn thẳng này có thể là ba canh của một tam giác.
Không vì 8 = 6 + 2 .
Bài 4. Một tam giác cân có một cạnh bằng 6 cm. Tính hai cạnh còn lại, biết chu vi của tam giác đó bằng 20 cm.
Nếu cạnh đã cho (6 cm)
đẳng thức tam giác.
Lời giải:
là cạnh đáy thì hai cạnh còn lại là (20 - 6) : 2 = 7

(cm) , thỏa mãn bất
Nếu cạnh đã cho (6 cm)
bất đẳng thức tam giác.
là cạnh bên thì hai cạnh còn lại là 6cm và
20 - 2.6 = 8
(cm) , thỏa mãn
Bài 5. Cho tam giác ABC có số nguyên (cm).
BC = 1cm, AC=7cm.Tìm độ dài cạnh AB biết độ dài này là một
Lời giải:
Theo bất đẳng thức tam giác, trong ABC có: AC - BC < AB < AC + BC Û 6 < AB < 8
Do AB là số nguyên nên AB = 7cm .
Bài 6. Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng 6 cm và 2cm . Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của cạnh đó theo cm là một số tự nhiên chẵn.
Lời giải:
Giả sử
DABC có
AB = 6 cm, AC = 2 cm .
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có AB - AC < BC < AB + AC . Suy ra 4 < BC < 8 . Mà BC có độ
dài theo cm là một số tự nhiên chẵn. Do đó, BC = 6cm .
Bài 7. Cho tam giác ABC có là một số nguyên (cm) .
AB = 4 cm, AC = 1cm . Hãy tìm độ dài cạnh BC biết rằng độ dài này
Lời giải:
Ta có AB = 4 cm, AC = 1cm .
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có AB - AC < BC < AB + AC . Suy ra 3 < BC < 5 . Mà BC có độ
dài theo cm là một số nguyên. Do đó, BC = 4cm .
Bài 8. Tính chu vi của tam giác cân có hai cạnh bằng 4 m và 8 m .
Lời giải:
Cách 1: Vì tam giác là tam giác cân nên sẽ có độ dại ba cạnh là Th1 4 m; 4m; 8m trường hợp này không xảy ra vì 4 m + 4 m = 8 m Th2 4 m; 8m; 8m trường hợp này xảy ra vì 4 m + 8 m > 8 m
Vậy chu vi tam giác là 20 m . Cách 2:
Giả sử
DABC có
AB = 4 m, AC = 8 m .
Theo bất đang thức tam giác, ta có | AB - AC |< BC < AB + AC .
Do đó, 4 < BC < 12 . Mà
DABC
cân nên suy ra
BC = 8 m. Vậy chu vi tam giác
DABC là 20 m .
Bài 9. Tính chu vi của tam giác cân có hai cạnh bằng 3cm và 7cm .
Lời giải:
Giả sử
DABC có
AB = 3cm, AC = 7 cm .
Theo bất đẩng thức tam giác, ta có | AB - AC |< BC < AB + AC . Do đó, 4 < BC < 10 . Mà DABC
cân nên suy ra BC = 7 cm . Vậy chu vi tam giác ABC là 17 cm .
2	, 16, x
Bài 10. Ba cạnh của một tam giác có độ dài bằng	1
2
(đơn vị cm ). Tìm x , biết rằng x
là số tự nhiên và có giá trị nhỏ nhất có thể.
Lời giải:
Theo bất đẩng thức tam giác, ta có | 2 1 -16 |< x < 2 1 +16 Þ13,5 < x < 18,5 .
2	2
Mà x là số tự nhiên và có giá trị nhỏ nhất có thể nên x = 14cm
Bài 11. Tam giác ABC có chu vi 18cm, BC > AC > AB. Tính độ dài BC biết rằng độ dài đó là một số chẵn (đơn vị: cm ).
Lời giải:
Ta có: BC > AB, BC > AC nên BC + BC + BC > AC + AB + BC , tức là 3.BC > 18 .
Vậy

BC > 6cm
(1)
Ta có: BC < AC + AB nên BC + BC < AB + AC + BC , tức là 2.BC < 18 .
Vậy
BC < 9cm
(2)
Do BC là số chẵn nên từ (1),
(2)
suy ra
BC = 8cm
Bài 12. Có bao nhiêu tam giác có độ dài hai cạnh là 7cm và 2cm còn độ dài cạnh thứ ba là một số nguyên (đơn vị cm )?
Lời giải:
Gọi độ dài cạnh còn lại của tam giác là: x ( cm ).
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: | 7 - 2 |< x < 7 + 2 Þ 5 < x < 9
Mà x là một số nguyên nên
x Î{6; 7;8} .
Do đó có 3 tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Dạng 2. Chứng minh các bất đẳng thức về độ dài
Phương pháp giải:
Sử dụng bất đẳng thức tam giác và các biến đổi về bất đẳng thức tam giác
+ Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức: a < b Þ a + c < b + c .
+ Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều:
íc < d
ìa < b Þ a + c < b + d.
î
Bài toán.
Bài 1. Cho tam giác OBC cân tại O . Trên tia đối của tia CO lấy điểm A . Chứng minh AB > AC
.
Lời giải:
O
C
B
A
Vì A thuộc tia đối CO nên C nằm giữa O; A OA > OC mà OB = OC Þ OA > OB
Xét tam giác OBA có AO - OB < AB (bất đẳng thức tam giác) Þ AC + OC - OB < AB .
Lại có OB = OC
( DOBC
cân tại O ) Þ AC < AB (điều phải chứng minh).
Bài 2. Cho tam giác ABC , điểm M thuộc cạnh AB .
So sánh MC với AM + AC .
Chứng minh MB + MC < AB + AC .
Lời giải:
A
M
B	C
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác AMC ta có: MC < AM + AC .
Ta có: MC < AM + AC Þ MB + MC < MB + MA + AC = AB + AC
Bài 3. Cho tam giác ABC , trên tia đối của tia AC lấy điểm K .
So sánh AB với KA + KB .
Chứng minh AB + AC < KB + KC .
Lời giải:
C
A
K	B
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác AKB ta có: AB < KA + KB .
Ta có: AB < KB + KA Þ AB + AC < KB + KA + AC = KB + KC
Bài 4. Cho tam giác ABC , M là trung điểm của
BC. Chứng minh rằng:
AB + AC > 2AM
Lời giải:
A
M
B	C
D
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
Xét
DMAB
và DMDC có
MA = MD
AMB = DMC

(đối đỉnh)
MB = MC ( giả thiết )
Þ DMAB = DMDC (c.g.c)
Þ AB = DC (Hai cạnh tương ứng)
Xét DADC có : CD + AC > AD (bất đẳng thức trong tam giác)
Do đó : AB + AC > AD mà AD = 2.AM
Þ AB + AC > 2AM (đpcm)
Bài 5. Cho điểm M nằm trong
MA + MB + MC < AB + AC + BC.

DABC . Chứng minh rằng: MB + MC < AB + AC . Từ đó suy ra:
Lời giải:
A
D
M
C
B
Kẻ BM cắt cạnh AC tại D .
Xét
DABD
có : BD < AB + AD Þ MB + MD < AB + AD
(1)
Xét
DMDC có : MC < MD + DC
(2)
Từ (1) và (2) suy ra :
MB + MC + MD < AB + AD + DC + MD
Þ MB + MC < AB + AC
CMTT ta có : MA + MC < AB + BC và MA + MB < AC + BC
Do đó :
2.(MA + MB + MC ) < 2.( AB + AC + BC )
ÞMA + MB + MC < AB + AC + BC
Bài 6. Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi I là giao điểm của đường thẳng BM và cạnh AC . So sánh MA với MI + IA .
So sánh MA với MI + IA .
Chứng minh rằng MA + MB < IB + IA .
Chứng minh rằng IB + IA < CA + CB .
Chứng minh rằng MA + MB < CA + CB
Lời giải:
A
I
M
B	C
Xét DAMI , theo bất đẳng thức tam giác, ta có
MA < MI + IA
Từ câu a), suy ra
MA + MB < MI + IA + MB
Do đó, MA + MB < IA + IB
Xét DIBC , theo bất đẳng thức tam giác, ta có
IB < BC + CI
Do đó IA + IB < CA + CB .
Từ câu a) kết hợp câu b) ta được
MA + MB < CA + CB
Bài 7. Cho điểm K nằm trong tam giác ABC . Gọi M là giao điểm của tia AK với cạnh BC .
Chứng minh rằng KA + KB < MA + MB < CA + CB .
So sánh KB + KC với AB + AC .
Chứng minh rằng KA + KB + KC
nhỏ hơn chu vi tam giác ABC .
Lời giải:
A
P
N
K
B	M	C
Chứng minh tương tự bài tập 5 ta được
KA + KB < MA + MB < CA + CB
Gọi N là giao điểm của tia BK với AC . Tương tự câu a) ta có
KB + KC < NB + NC < AB + AC .	(1)
Do đó, KB + KC < AB + AC
Gọi P là giao điểm của tia CK với AB . Ta có, KA + KC < PA + PC < BA + BC
Do đó, KA + KC < BA + BC . (2)
Từ câu a), suy ra KA + KB < CA + CB . (3)
Từ (1) , (2) và (3) , ta thấy
2(KA + KB + KC) < 2( AB + AC + BC) Þ KA + KB + KC < AB + AC + BC
Vậy tổng KA + KB + KC nhỏ hơn chu vi tam giác ABC .
Bài 8. Cho tam giác ABC . Trên đường phân giác của góc ngoài đỉnh A , lấy điểm M không trùng với A . Chứng minh rằng: MB + MC > AB + AC .
Lời giải:
M
A
D
B	C
Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AB = AD Þ AB + AC = AD + AC = CD
(1)
Xét
DAMB
và DAMD có:
MA : chung; BAM = DAM ( AM là tia phân giác của BAD ); MB = MD
(cách vẽ)
Þ DAMB = DAMC

(c.g.c)
Þ MB = MD (hai cạnh tương ứng)
Þ MB + MC = MD + MC
(2)
Xét
DMCD , ta có: MC + MD > CD . (3)
Từ (1) , (2) , (3)
suy ra MB + MC > AB + AC .
Bài 9. Cho hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d . Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tổng AC + CB là nhỏ nhất.
Lời giải:
d
C
B
C'
A
Giả sử C là giao điểm của đoạn thẳng AB với đường thẳng d .
Vì C nằm giữa A và B nên ta có
AC + CB =
AB. (1)
Lấy điểm C ' bất kỳ trên d ( C ¹ C ' ). Nối
AC ', BC ' .
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào

DABC ' , ta có
AC '+
BC ' > AB. (2)
Từ (1) và (2) suy ra
AC '+ BC ' >
AC + CB .
Vậy C là điểm cần tìm.
Bài 10. Cho đường thẳng d và hai điểm

A, B nằm cùng về một phía của d và AB không song
song với d . Một điểm H di động trên d . Tìm vị trí của H sao cho
Lời giải:
HA - HB
là lớn nhất.
A
B
d
I	H
Vì AB không song song với d nên AB cắt d tại I. Với điểm H bất kì thuộc d mà H không
trùng với I thì ta có tam giác HAB . Xét tam giác HAB có HA - HB < AB .
Khi H º I
thì
HA - HB = AB .
Vậy
HA - HB
lớn nhất là bằng AB , khi đó H º I
là giao điểm của hai đường thẳng d và AB .
Bài 11. Cho góc xOy nhọn, trên Ox lấy hai điểm A và B (điểm A nằm giữa hai điểm O và B
). Trên Oy lấy hai điểm C và D (điểm C nằm giữa O và D ). Chứng minh
Lời giải:
AB + CD <
AD + BC.
x
B
A
F
y
C
D
O
Gọi F là giao điểm của AD và BC .
Xét
DAFB , ta có AB < AF + FB
(bất đẳng thức tam giác). (1)
Xét DCFD , ta có CD<CF +FD (bất đẳng thức tam giác). (2)
Từ (1),(2) có

AB+CD<AF +FB+CF +FD=AD+BC
hay AB+CD<AD + BC . (điều phải chứng minh).
Bài 12. Một trạm biến áp và một khu dân cư được xây dựng cách xa hai bờ sông tại hai địa điểm A và B . Hãy tìm trên bờ sông gần khu dân cư một địa điểm C để dụng một cột mắc dây đưa điện từ trạm biến áp về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây dẫn là ngắn nhất.
Nếu

A; B;C thẳng hàng thì

AC +

BC = AB
Lời giải:
Nếu
A; B;C không thẳng hàng thì ta có tam giác DABC lúc đó AC
BC > AB
Do đó: AC
BC
ngắn nhất khi AC
BC
= AB
Þ A, B, C thẳng hàng và C nằm giữa A; B .
Vậy vị trí dặt một cột mắc dây điện từ trạm về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây dẫn
ngắn nhất là C nằm giữa A và B (và A, B, C thẳng hàng)
Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1.
Bài 1. Bộ ba độ dài nào dưới đây có thể tạo thành độ dài của ba cạnh trong tam giác?
6cm; 7cm; 15cm
b) 4, 2cm; 3,5cm; 2,5cm
c) 3cm; 7, 2cm; 5cm
d) 3m; 10m; 7m
Bài 2. Cho tam giác ABC có cạnh dài cạnh AC là một số nguyên tố.
AB = 2cm
và cạnh
BC = 7 cm . Tính độ dài cạnh AC biết độ
Bài 3. Cho
DABC
cân.
Tính
AC, BC biết chu vi
DABC
là 23 cm và
AB =
5 cm.
Tính chu vi
DABC
biết AB
= 5cm, AC
= 12cm.
Bài 4. Có bao nhiêu tam giác có độ dài hai cạnh là 1cm và 3cm còn độ dài cạnh thứ ba là một số nguyên (đơn vị cm )?
Dạng 2.
Bài 1. Cho góc xOy, Oz là tia phân giác của góc xOy . Từ điểm M ở trong góc xOz vẽ MH
vuông góc với Ox ( H thuộc Ox ), MK vuông góc với Oy ( K thuộc Oy ). Chứng minh rằng:
MH < MK .
Bài 2. Cho
DABC
có ( AB
< AC ) và AD là phân giác góc A ( D Î BC
). Gọi E là một điểm bất
kỳ thuộc cạnh AD ( E khác A ). Chứng minh AC
AB
EC
EB .
Bài 3. Cho
DABC
cân tại A , góc A tù, trên cạnh BC lấy điểm D , trên tia đối của tia CB lấy
điểm E sao cho BD = CE , trên tia đối của tia CA lấy điểm I sao cho CI = CA.
a, Chứng minh rằng:
DABD = DICE
và AB + AC < AD + AE .
b, Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BC cắt Chứng minh rằng: BM = CN .
AB, AI lần lượt tại M và N ,
c, Chứng minh rằng: Chu vi
DABC
nhỏ hơn chu vi
DAMN .
Bài 4. Cho
DABC
vuông tại A , tia phân giác của góc B cắt AC tại
D. Chứng minh rằng
BC - BA > DC - DA .
ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1.
Bài 1.
a) Không vì 15 > 6 + 7.
b) Có vì 4, 2 < 3,5 + 2,5
c) Có vì 7, 2 < 3 + 5
Không vì 10 = 3 + 7
Bài 2.
Áp dụng tính chất quan hệ ba cạnh của một tam giác vào tam giác ABC ta có:
BC - AB < AC < BC + AB Þ 5 < AC < 9
Mà độ dài cạnh AC là một số nguyên tố nên
Bài 3.
AC = 7cm.
Tính
AC, BC biết chu vi
DABC
là 23 cm và
AB =
5 cm.
Cách 1: Vì là tam giác cân
TH1 : ta có ba cạnh là 5cm , 5cm và 13 cm không có tam giác có ban cạnh vậy Th2 : ta có ba cạnh là 5cm,x cm, x cm và chu vi bằng 23cm
Lúc đó 5 5 + x + x = 23 Þ x = 9 thỏa mãn tam giác có ba cạnh này
Vì AB =
5 cm.nên
AC = BC
= 9 cm.
Cách 2
* Nếu AB là cạnh bên và

DABC

cân tại A
Þ AB
= AC
= 5 cm.
Þ BC
= 13 cm
(không thỏa mãn BĐT tam giác).
* Nếu AB là cạnh bên và
DABC
cân tại B
Þ AB
= CB
= 5 cm.
Þ AC = 13 cm (không thỏa mãn BĐT tam giác).
*Nếu AB là cạnh đáy thì
DABC
cân tại C
Þ AC = BC = (23 - 5) : 2 =9cm. (Thỏa mãn BĐT tam giác)
Vậy: AC = BC = 9cm
Tính chu vi
DABC
biết AB
= 5cm, AC
= 12cm.
* Nếu
Þ AC
AB = BC = 5cm là cạnh bên
= 12cm là cạnh đáy
Khi đó 12 > 5 + 5 ( không thỏa mãn BĐT tam giác).
Vậy AC
= BC
= 12cm là cạnh bên
AB = 5cm là cạnh đáy
Chu vi
Bài 4.
DABC
là :
12 +12 + 5 = 29 (cm)
Gọi độ dài cạnh còn lại của tam giác là: x ( cm ).
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: |1- 3 |< x < 1+ 3 Þ 2 < x < 4
Mà x là một số nguyên nên x = 3 .
Do đó có 1 tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Dạng 2 .
Bài 1.
Gọi A là giao điểm của MK với Oz . Vẽ AB vuông góc với Ox ( B thuộc Ox ). Nối B với M
x
H
B
M
z
A
y
K
O
Xét
DKOA
(K = 900 )
và DBOA
(B = 900 ) có:
OA chung
KOA = BOA ( Oz là tia phân giác xOy )
Þ DKOA = DBOA (cạnh huyền – góc nhọn)
Þ AK = AB (Hai cạnh tương ứng)
Xét
DABM
có BM < AB + AM
(Bất đẳng thức trong tam giác)
Do đó : BM < AK + AM hay BM < MK
Mà MH < BM (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc )
Þ MH < MK
Bài 2.
( đpcm )
A
E
F
B	D	C
Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF = AB .
Xét
DABE
và DAFE có
AB = AF;
BAE = FAE; AE chung .
Do đó
DABE =
DAFE (c.g.c)	Þ
BE =
EF.
Trong tam giác EFC có FC
EC
EF
Mà BE
= EF
nên FC
EC
– EB (1)
Lại có
FC = AC

AF
mà AF
= AB
nên FC
= AC
– AB (2)
Từ (1) và (2)
Bài 3.
suy ra

AB – AC
EC

EB.
A
M
C
E
D
O
N
B
a, CM:

DABD = DICE

I
(c.g.c) , Ta có : AB + AC = AI
Vì DABD = DICE Þ AD = EI
Áp dụng BĐT trong
DAEI : AE + EI > AI
hay AE + AD > AB + AC
b, CM:
DBDM = DCEN
(g.c.g) Þ BM = CN
c, Vì BM = CN Þ
AB + AC = AM + AN (1)
Có BD = CE (gt), Þ BC = DE
Gọi O là giao của MN và BC
í
Þ ìOM > OD Þ MO + ON > OD + OE Þ MN > DE Þ MN > BC
îON > OE

(2)
Từ (1)
Bài 4.
và (2) ta có : chu vi của
DABC
nhỏ hơn chu vi của
DAMN
1 2
H
B
A	D	C
Xét
DADB và
DHDB
có:
BD : cạnh huyền chung;
B1 = B2
( BD là tia phân giác của B )
Þ DADB = DHDB (cạnh huyền-góc nhọn)
Þ BA = BH; DA = DH (hai cạnh tương ứng)
Xét
DHDC
vuông tại H có DC > DH
và HC > DC - DH (bất đẳng thức tam giác)
Suy ra BC - BH = HC > DC - DA (vì DH = DA ) Do đó, BC - BA > DC - DA (vì BH = BA )
PHIẾU BÀI TẬP
Dạng 1:
Bài 1. Bộ ba độ dài nào dưới đây có thể tạo thành độ dài của ba cạnh trong tam giác? a) 6cm; 8cm; 16cm	b) 5,5cm; 3,1cm; 2, 4cm
d) 13, 7cm; 8, 2cm; 5,3cm	c) 8m; 12m; 7m
Bài 2. Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây có thể tạo thành một tam giác hay không?
3cm, 4cm, 6cm	b) 2m, 4m, 8 m	c) 1cm, 3cm, 4cm
Bài 3. Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác.
a) 3cm, 3cm, 7 cm .	b) 6 m, 10 m, 8 m .	c) 2 m, 6 m, 8 m .
Bài 4. Một tam giác cân có một cạnh bằng 6 cm. Tính hai cạnh còn lại, biết chu vi của tam giác đó bằng 20 cm.
Bài 5. Cho tam giác ABC có số nguyên (cm).
BC = 1cm, AC=7cm.Tìm độ dài cạnh AB biết độ dài này là một
Bài 6. Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng 6 cm và 2cm . Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của cạnh đó theo cm là một số tự nhiên chẵn.
Bài 7. Cho tam giác ABC có là một số nguyên (cm) .
AB = 4 cm, AC = 1cm . Hãy tìm độ dài cạnh BC biết rằng độ dài này
Bài 8. Tính chu vi của tam giác cân có hai cạnh bằng 4 m và 8 m .
Bài 9. Tính chu vi của tam giác cân có hai cạnh bằng 3cm và 7cm .
2	, 16, x
Bài 10. Ba cạnh của một tam giác có độ dài bằng	1
2
(đơn vị cm ). Tìm x , biết rằng x
là số tự nhiên và có giá trị nhỏ nhất có thể.
Bài 11. Tam giác ABC có chu vi 18cm, BC > AC > AB. Tính độ dài BC biết rằng độ dài đó là một số chẵn (đơn vị: cm ).
Bài 12. Có bao nhiêu tam giác có độ dài hai cạnh là 7cm và 2cm còn độ dài cạnh thứ ba là một số nguyên (đơn vị cm )?
Dạng 2:
Bài 1. Cho tam giác OBC cân tại O . Trên tia đối của tia CO lấy điểm A . Chứng minh AB > AC
.
Lại có OB = OC
( DOBC
cân tại O ) Þ AC < AB (điều phải chứng minh).
Bài 2. Cho tam giác ABC , điểm M thuộc cạnh AB .
So sánh MC với AM + AC .
Chứng minh MB + MC < AB + AC .
Bài 3. Cho tam giác ABC , trên tia đối của tia AC lấy điểm K .
So sánh AB với KA + KB .
Chứng minh AB + AC < KB + KC .
Bài 4. Cho tam giác ABC , M là trung điểm của
BC. Chứng minh rằng:
AB + AC > 2AM
Bài 5. Cho điểm M nằm trong
MA + MB + MC < AB + AC + BC.
DABC . Chứng minh rằng: MB + MC < AB + AC . Từ đó suy ra:
Bài 6. Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi I là giao điểm của đường thẳng BM và cạnh AC . So sánh MA với MI + IA .
So sánh MA với MI + IA .
Chứng minh rằng MA + MB < IB + IA .
Chứng minh rằng IB + IA < CA + CB .
Chứng minh rằng MA + MB < CA + CB
Bài 7. Cho điểm K nằm trong tam giác ABC . Gọi M là giao điểm của tia AK với cạnh BC .
Chứng minh rằng KA + KB < MA + MB < CA + CB .
So sánh KB + KC với AB + AC .
Chứng minh rằng KA + KB + KC nhỏ hơn chu vi tam giác ABC .
Bài 8. Cho tam giác ABC . Trên đường phân giác của góc ngoài đỉnh A , lấy điểm M không trùng với A . Chứng minh rằng: MB + MC > AB + AC .
Bài 9. Cho hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d . Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tổng AC + CB là nhỏ nhất.
Bài 10. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng về một phía của d và AB không song
song với d . Một điểm H di động trên d . Tìm vị trí của H sao cho
HA - HB
là lớn nhất.
Bài 11. Cho góc xOy nhọn, trên Ox lấy hai điểm A và B (điểm A nằm giữa hai điểm O và B
). Trên Oy lấy hai điểm C và D (điểm C nằm giữa O và D ). Chứng minh
AB + CD <
AD + BC.
Bài 12. Một trạm biến áp và một khu dân cư được xây dựng cách xa hai bờ sông tại hai địa điểm A và B . Hãy tìm trên bờ sông gần khu dân cư một địa điểm C để dụng một cột mắc dây đưa điện từ trạm biến áp về cho khu dân cư sao cho độ dài đường dây dẫn là ngắn nhất.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1.
Bài 1. Bộ ba độ dài nào dưới đây có thể tạo thành độ dài của ba cạnh trong tam giác?
6cm; 7cm; 15cm
f)	4, 2cm; 3,5cm; 2,5cm
g) 3cm; 7, 2cm; 5cm
h) 3m; 10m; 7m
Bài 2. Cho tam giác ABC có cạnh dài cạnh AC là một số nguyên tố.
AB = 2cm
và cạnh
BC = 7 cm . Tính độ dài cạnh AC biết độ
Bài 3. Cho
DABC
cân.
Tính
AC, BC biết chu vi
DABC
là 23 cm và
AB =
5 cm.
Tính chu vi
DABC
biết AB
= 5cm, AC
= 12cm.
Bài 4. Có bao nhiêu tam giác có độ dài hai cạnh là 1cm và 3cm còn độ dài cạnh thứ ba là một số nguyên (đơn vị cm )?
Dạng 2.
Bài 1. Cho góc xOy, Oz là tia phân giác của góc xOy . Từ điểm M ở trong góc xOz vẽ MH
vuông góc với Ox ( H thuộc Ox ), MK vuông góc với Oy ( K thuộc Oy ). Chứng minh rằng:
MH < MK .
Bài 2. Cho
DABC
có ( AB
< AC ) và AD là phân giác góc A ( D Î BC
). Gọi E là một điểm bất
kỳ thuộc cạnh AD ( E khác A ). Chứng minh AC
AB
EC
EB .
Bài 3. Cho
DABC
cân tại A , góc A tù, trên cạnh BC lấy điểm D , trên tia đối của tia CB lấy
điểm E sao cho BD = CE , trên tia đối của tia CA lấy điểm I sao cho CI = CA.
a, Chứng minh rằng:
DABD = DICE
và AB + AC < AD + AE .
b, Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BC cắt Chứng minh rằng: BM = CN .
AB, AI lần lượt tại M và N ,
c, Chứng minh rằng: Chu vi
DABC
nhỏ hơn chu vi
DAMN .
Bài 4. Cho
DABC
vuông tại A , tia phân giác của góc B cắt AC tại
D. Chứng minh rằng
BC - BA > DC - DA .