Giáo án Toán 7 (Cánh diều) - Chương 6: Biểu thức đại số - Bài 2: Đa thức một biến. Nghiệm của đa thức một biến

ĐA THỨC MỘT BIẾN. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN
I Đơn thức một biến. Đa thức một biến
1 Đơn thức một biến
Đơn thức một biến là biểu thức đại số chỉ bao gồm một trong hai dạng sau:
- Dạng 1: Là một số 
VD: Các số 0; 2; -5; ; 0,25; là các đơn thức một biến.
- Dạng 2: Là biểu thức có dạng với a là số thực khác 0 và k là số nguyên dương. Trong đó a được gọi là hệ số của đơn thức .
VD: Các biểu thức là các đơn thức một biến.
2 Đa thức một biến
Đa thức một biến là tổng những đơn thức của cùng một biến. Mỗi đơn thức cũng là một đa thức. 
VD: Biểu thức là đa thức một biến. Trong đó các đơn thức 3x3; -2x2; 5x; -1 cũng là các đa thức một biến.
(Tóm lại mỗi đơn thức đơn biến là đa thức một biến, tổng của các đơn thức có cùng một biến cũng là đa thức một biến).
Chú ý:
- Số 0 được gọi là đa thức 0.
- Ta kí hiệu đa thức một biến x là 
VD: Ta có đa thức một biến x là 
Luyện tập 1 trang 48
II. Cộng trừ đơn thức có cùng số mũ của biến
Để cộng (trừ) hai đơn thức có cùng số mũ của biến, ta cộng (hay trừ) hai hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến:
• axk + bxk = (a + b)xk;
• axk – bxk = (a – b)xk (k ∈ ℕ*).
Luyện tập 2 trang 49: Thực hiện mỗi phép tính sau:
a) 
Trong biểu thức này các đơn thức có cùng một biến đều là , đặc biệt là đơn thức thứ nhất tính từ bên trái qua, đằng trước nó không có hệ số thì chúng ta tự hiểu hệ số của nó bằng 1. Như vậy lúc này các bạn tiến hành cộng trừ các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến .
Giải
b) 
III Sắp xếp đa thức một biến
1 Thu gọn đa thức
Thu gọn đa thức là đi nhóm các đơn thức có cùng biến lại thành một nhóm rồi thu gọn.
VD: Thu gọn đa thức 
- Để thu gọn đa thức này thì các bạn quan sát thấy, trong đa thức này có những biến x nào ? ( và x)
- Rồi quan tiếp thấy trong đa thức này, những đơn thức nào có cùng biến ? (); những đơn thức nào có cùng biến x ?( 6x và 2x)
- Như vậy để thu gọn đa thức này thì các tiến hành nhóm các đơn thức cùng lại thành một nhóm; rồi tiếp nhóm các đơn thức có cùng biến x lại thành một nhóm sau đó thu gọn.
Giải
Luyện tập 3 trang 49 
2 Sắp xếp một đa thức
 Sắp xếp đa thức (một biến) theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến là sắp xếp các đơn thức trong dạng thu gọn của đa thức đó theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến. 
(Tóm lại để sắp xếp một đa thức thì trước hết các bạn cần phải thu gọn đa thức đó rồi tiến hành sắp xếp. Khi sắp xếp thì các bạn sắp xếp các biến theo số mũ tăng dần hoặc giảm dần)
Luyện tập 4 trang 50 
Rồi quan sát đa thức H(x) thì các thấy đa thức này người ta đã thu gọn rồi nên giờ mình vào câu a)
a) Đề yêu cầu các bạn sắp xếp số mũ giảm dần của biến nghĩa biến nào có số mũ lớn nhất viết trước còn mũ nhỏ thì viết sau.
- Rồi các bạn quan sát thấy trong đa thức H(x) thì biến nào có số mũ lớn nhất ? (x10) khi đó ta viết đơn thức 5x10 trước.
- Tiếp tới biến nào có số mũ lớn sau x10 ? (x8) khi đó ta viết đơn thức -0,5x8 sau đơn thức 5x10.
- Tiếp lúc này trong đa thức còn lại biến x3, khi đó ta viết đơn thức 4x3 sau đơn thức -0,5x8.
- Cuối cùng trong đa thức còn lại -1 thì ta viết -1 ở vị trí cuối cùng.
H(x) = 5x10 - 0,5x8 + 4x3 - 1.
b) Đề yêu cầu các bạn sắp xếp số mũ tăng dần của biến nghĩa là nó ngược lại so với câu a. Như vậy khi đó các bạn đem các đơn thức ở câu a viết ngược lại là xong.
H(x) = -1 + 4x3 - 0,5x8 + 5x10.
IV Bậc của đa thức một biến
Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đa thu gọn) là số mũ cao nhất của biến trong đa thức đó.
(Tóm lại để tìm bậc của đa thức thì trước hết các bạn đi thu gọn đa thức rồi mới tìm bậc)
Chú ý:
 Trong dạng thu gọn của đa thức, hệ số của luỹ thừa với số mũ cao nhất của biến còn gọi là hệ số cao nhất của đa thức; số hạng không chứa biến còn gọi là hệ số tự do của đa thức.
VD: Cho đa thức .
a) Tìm bậc của đa thức P(x)
b) Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức P(x)
a) Quan sát đa thức P(x), các bạn thấy đa thức P(x) có những biến x nào ? (x4; x3 và x2)
Mà biến x4; x3 và x2 thì biến nào có số mũ lớn nhất ? (x4)
Như vậy tương ứng bậc lớn nhất của đa thức này là bậc 4.
b) * Hệ số cao nhất
Ở câu a ta đã biết bậc cao nhất của đa thức là bậc 4
Mà bậc 4 thì ứng với đơn thức x4
Rồi đằng trước đơn thức x4 không có số thì các bạn hiểu hệ số của nó bằng 1 như vậy hệ số cao nhất của đa thức này là 1.
* Hệ số tự do
Rồi các bạn nhìn vào đa thức P(x) thấy đơn thức nào không có biến theo sau ? (1)
Như vậy hệ số tự do của đa thức nay là +1 hay ta có thể viết là 1
Luyện tập 5 trang 51
a) R(x) = -1 975x3 + 1 945x4 + 2 021x5 - 4,5
R(x) = 2 021x5 + 1 945x4 - 1 975x3 - 4,5.
Vậy R(x) = 2 021x5 + 1 945x4 - 1 975x3 - 4,5.
b) Bậc của đa thức R(x) bằng 5.
c) Hệ số cao nhất của đa thức R(x) bằng 2021.
Hệ số tự do của đa thức R(x) bằng -4,5.
Chú ý:
+ Một số khác 0 là đa thức bậc 0.
+ Đa thức không (số 0) không có bậc.
V Nghiệm của đa thức một biến 
– Giá trị của đa thức P(x) tại x = a được kí hiệu là P(a).
– Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì a (hoặc x = a) gọi là một nghiệm của đa thức đó.
(Tóm lại để biết giá trị x = a bất kí có phải là nghiệm của đa thức không thì các bạn sẽ thay giá trị x đó vào đa thức. Nếu tính ra = 0 thì giá trị đó là nghiệm, ngược lại tính ra khác 0 thì giá trị đó không phải là nghiệm).
Luyện tập 6 trang 52
a) Ta có:
P(4) = 42 - 16 = 0.
P(-4) = (-4)2 - 16 = 0.
Ta thấy P(x) = 0 tại x = 4 và x = - 4.
Do đó phát biểu này là phát biểu đúng.
b) Ta có Q(-2) = -2 . (-2)3 + 4 = -2 . (-8) + 4 = 20.
Do đó phát biểu này là phát biểu sai.