Giáo án Toán 6 (Cánh diều) - Chương 1: Số tự nhiên - Bài 13: Bội chung và bội chung nhỏ nhất

BỘI CHUNG VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
I. Bội chung và bội chung nhỏ nhất
1. Bội chung:
Số tự nhiên n được gọi là bội chung của hai số a và b nếu n vừa là bội của a vừa là bội của b.
Quy ước: Viết tắt bội chung là BC.
Kí hiệu: Tập hợp các bội chung của a và b là BC(a, b).
Ví dụ: Các bội của 2 là: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,
Các bội của 3 là: 0, 3, 6, 9, 12,
Các bội chung của 2 và 3 là: 0, 6, 12, 
Vậy BC(2, 3) = {0; 6; 12; }.
Chú ý: Số tự nhiên n được gọi là bội chung của ba số a, b, c nếu n là bội của cả ba số a, b, c. Ta kí hiệu: Tập hợp các bội chung của a, b, c là BC(a, b, c).
Ví dụ: 20 chia hết cho 2 nên 20 là bội của 2, 20 chia hết cho 4 nên 20 là bội của 4, 20 chia hết cho 5 nên 20 là bội của 5. Do đó 20 là một bội chung của ba số 2, 4, 5.
Luyện tập 1 trang 54: Hãy nêu bốn bội chung của 5 và 9.
Phương pháp: Tìm các số vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 9.
Giải
Bốn bội chung của 5 và 9 là: 45, 90, 135, 180.
2. Bội chung nhỏ nhất:
Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của a và b được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b.
Quy ước: Viết tắt bội chung nhỏ nhất là BCNN.
Kí hiệu: bội chung nhỏ nhất của a và b là BCNN(a, b).
Ví dụ: Ta có các bội chung của 2 và 3 là: 0, 6, 12, Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của 2 và 3 là 6 nên 6 là bội chung nhỏ nhất của 2 và 3.
Vậy BCNN(2, 3) = 6.
Chú ý:
- Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của ba số a, b, c được gọi là bội chung nhỏ nhất của ba số a, b, c.
- Kí hiệu: bội chung nhỏ nhất của a, b, c là BCNN(a, b, c).
- Bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên tố cùng nhau bằng tích của hai số đó.
Ví dụ: 5 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên BCNN(5, 8) = 5 . 8 = 40.
3. Tìm bội chung thông qua BCNN
- Bội chung của nhiều số là bội của bội chung nhỏ nhất của chúng.
- Để tìm bội chung của hai số a và b từ bội chung nhỏ nhất của hai số đó ta làm như sau:
- B1: Tìm BCNN (a, b). Giả sử BCNN (a,b) = c.
- B2: Tìm B (c).
- B3: Suy ra BC (a, b) = B (c).
VD: Biết BCNN (12, 18) = 36. Tìm BC (12, 18).
Giải
Ta có BCNN (12, 18) = 36
Suy ra BC (12, 18) = B (36) = {0; 36; 72; 108;}
Luyện tập 2 trang 55: Tìm tất cả các số có ba chữ số là bội chung của a và b, biết rằng BCNN(a, b) = 300.
Giải
Ta có BCNN(a, b) = 300
Suy ra BC (a,b) = B(300) = {0; 300; 600; 900; 1200;}
 Vậy tất cả các số có 3 chữ số là bội chung của a và b là: 300, 600, 900
II. Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố
Các bước tìm BCNN bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố
 Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và các thừa số nguyên tố riêng
Bước 3: Với mỗi thừa số nguyên tố chung và riêng, ta chọn lũy thừa với số mũ lớn nhất
Bước 4: Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được bội chung nhỏ nhất cần tìm.
Ví dụ: Tìm BCNN(40, 48).
Lời giải:
-B1: 40 = 23 . 5; 48 = 24 . 3
-B2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng của 40 và 48, đó là 2, 3, 5.
-B3: Số mũ lớn nhất của 2 là 4; Số mũ lớn nhất của 3 là 1; Số mũ lớn nhất của 5 là 1.
B4: Vậy BCNN(40, 48) = 24  . 3 . 5 = 240.
Chú ý: Nếu a⋮b thì BCNN(a, b) = a. Chẳng hạn: BCNN(48, 16) = 48.
Luyện tập 3 trang 56: Tìm bội chung nhỏ nhất của 12, 18, 27.
Giải
12 = 4 . 3 = 22 . 3 
18 = 2 . 9 = 2 . 32 
27 = 33 
 Các thừa số nguyên tố chung và riêng của 12, 18 và 27 là 2 và 3.
Số mũ lớn nhất của 2 là 2, số mũ lớn nhất của 3 là 3 
Vậy BCNN(12, 18, 27) = 22 . 33 = 4 . 27 = 108.
III. Ứng dụng bội cung nhỏ nhất vào cộng, trừ các phân số không cùng mẫu
Để tính tổng (hoặc hiệu) hai hay nhiều phân số không cùng mẫu, ta có thể làm như sau:
-B1: Quy đồng mẫu số hai phân số bằng cách chọn mẫu chung là BCNN của các mẫu.
-B2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu).
-B3: Sau khi nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng, ta cộng (trừ) hai hay nhiều phân số có cùng mẫu.
Ví dụ: Thực hiện phép tính:
Giải
Luyện tập 4 trang 57: Thực hiện phép tính:
Giải
BCNN(15, 25, 10) = 2 . 3 . 52 = 6 . 25 = 150
 150 : 15 = 10; 150 : 25 = 6; 150 : 10 = 15
Ta có: