Giáo án Toán 6 (Cánh diều) - Chương 1: Số tự nhiên - Bài 12: Ước chung và ước chung lớn nhất

ƯỚC CHUNG VÀ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT
I. Ước chung và ước chung lớn nhất
1. Ước chung:
Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.
Quy ước: Viết tắt ước chung là ƯC.
Ví dụ: Ta có:
Các ước của 8 là: 1, 2, 4, 8
Các ước của 12 là: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Do đó các ước chung của 8 và 12 là: 1, 2, 4.
Vậy ƯC(8, 12) = {1; 2; 4}.
Chú ý: Số tự nhiên n được gọi là ước chung của ba số a, b, c nếu n là ước của cả ba số a, b, c.
Luyện tập 1 trang 48
a) Số 8 có phải là ước chung của 24 và 56 không? Vì sao?
b) Số 8 có phải là ước chung của 14 và 48 không? Vì sao?
Phương pháp: Để làm bài này thì:
- B1: Chia các số cho 8
- B2: Nếu cả 2 số cần xét chia hết cho 8 thì 8 là ước chung của 2 số đó.
Giải
a) Ta có: 24 và 56 đều chia hết cho 8 (vì 24 : 8 = 3; 56 : 8 = 7) nên 8 vừa là ước của 24 vừa là ước của 56. Do đó 8 là ước chung của 24 và 56. 
b) Ta có: 14 : 8 = 1 (dư 6); 48 : 8 = 6 nên 8 là ước của 48 nhưng không là ước của 14. Do đó 8 không phải là ước chung của 14 và 48. 
Luyện tập 2 trang 48: Số 7 có phải là ước chung của 14, 49, 63 không? Vì sao?
Phương pháp: Để làm bài này thì:
 - B1: Chia 14,49,63 cho 7.
- B2: Nếu cả 3 số cần xét chia hết cho 7 thì 7 là ước chung của 3 số đó.
Giải
Ta có: 14 : 7 = 2; 49 : 7 = 7; 63 : 7 = 9 
Nên 7 là ước của cả ba số 14; 49 và 63.
Vậy 7 là ước chung của ba số 14; 49 và 63. 
2. Ước chung lớn nhất:
Số lớn nhất trong các ước chung của hai số a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.
Quy ước: Viết tắt ước chung lớn nhất là ƯCLN.
Kí hiệu: ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN(a, b).
Ví dụ: Trong các ước chung của 8 và 12 là 1, 2, 4 thì 4 là số lớn nhất nên 4 là ước chung lớn nhất của 8 và 12. Ta viết ƯCLN(8, 12) = 4.
3. Tìm ước chung của hai số khi biết ƯCLN của hai số đó
- Ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng.
- Để tìm ước chung của hai số a và b từ ước chung lớn nhất của hai số đó ta làm như sau:
- B1: Tìm ƯCLN (a, b). Giả sử ƯCLN (a,b) = c.
- B2: Tìm Ư (c).
- B3: Suy ra ƯC (a, b) = Ư (c).
Ví dụ: Biết ƯCLN (18, 45) = 9. Tìm ƯC (18, 45)
Giải:
Ta có: ƯCLN (18, 45) = 9
Suy ra ƯC (18, 45) = Ư(9) = {1; 3; 9}
Luyện tập 3 trang 50: Tìm tất cả các số có hai chữ số là ước chung của a và b, biết rằng ƯCLN(a, b) = 80.
Giải:
Ta có ƯCLN(a, b) = 80
Suy ra ƯC (a,b) = Ư(80) = {1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 40; 80}
Vậy tất cả các số có hai chữ số là ước chung của a và b là: 10; 16; 20; 40; 80.  
II. Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố
Các bước tìm ƯCLN bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố:
Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung
Bước 3. Với mỗi thừa số nguyên tố chung, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất
Bước 4. Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được ước chung lớn nhất cần tìm.
Ví dụ: Tìm ƯCLN(54, 90).
- B1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố
54 = 2.33
90 = 2.32.5
- B2: Thừa số nguyên tố chung là 2 và 3.
- B3: Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, số mũ nhỏ nhất của 3 là 2.
- B4: Vậy ƯCLN (54, 90) = 2.32 = 18.
Chú ý:
- Nếu hai số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.
- Nếu a⋮b thì ƯCLN(a, b) = b. Chẳng hạn, ƯCLN(48, 16) = 16.
Luyện tập 4 trang 50: Tìm ƯCLN của 126 và 162
Giải
126 = 2 . 32 . 7 
 162 = 2 . 34
- Các thừa số nguyên tố chung của 126 và 162 là 2 và 3. 
- Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1; số mũ nhỏ nhất của 3 là 2.
Vậy ƯCLN(126, 162) = 21 . 32 = 2 . 9 = 18.
III. Hai số nguyên tố cùng nhau
1. Hai số nguyên tố cùng nhau
Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1.
Ví dụ: Hai số 14 và 33 là hai số nguyên tố cùng nhau vì ƯCLN(14, 33) = 1.
Luyện tập 5 trang 50: Hai số 24 và 35 có nguyên tố cùng nhau không? Vì sao?
Phương pháp: Để làm bài này thì đầu tiên ta tìm ƯCLN (24, 35). Nếu ƯCLN (24, 35) = 1 thì hai số 24 và 35 nguyên tố cùng nhau. Ngược lại, Nếu ƯCLN (24, 35) khác 1 thì hai số 24 và 35 không nguyên tố cùng nhau.
Giải
Ta có: ƯCLN(24,35) = 1.
Nên hai số 24 và 35 là hai số nguyên tố cùng nhau.
2. Phân số tối giản
Phân số tối giản là phân số có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau.
VD: Phân số có tử là 2 và mẫu là 5 là hai số nguyên tố cùng nhau nên được gọi là phân sô tối giản.
(Tóm lại, ta hiểu đơn giản phân sô tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa)