Giáo án Số học 6 (Cánh diều) - Chủ đề 6.2: Các phép toán về cộng, trừ, nhân, chia phân số

CHUYÊN ĐỀ 6-PHÂN SỐ
CHỦ ĐỀ 6.2: CÁC PHÉP TOÁN VỀ CỘNG, TRỪ, NHÂN , CHIA PHÂN SỐ
PHẦN I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT.
A- PHÉP CỘNG
1. Cộng hai phân số cùng mẫu
Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu
2. Cộng phân số không cùng mẫu
Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta viết các phân số đó dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu rồi cộng các tử và giữa nguyên mẫu chung.
3. Tính chất cơ bản của phép cộng phân số
Tương tự phép cộng số nguyên, phép cộng phân số có các tính chất cơ bản sau:
+ Tính chất giao hoán: 
+ Tính chất kết hợp: 
+ Cộng với số 0: 
B – PHÉP TRỪ
1. Số đối
- Hai số được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.
- Số đối của phân số được kí hiệu là 
* Chú ý: và 
2. Phép trừ hai phân số
- Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ. Nghĩa là:
- Kết quả của phép trừ được gọi là hiệu của và 
* Chú ý:
- Muốn trừ một phân số cho một phân số không cùng mẫu ta quy đồng mẫu rồi lấy từ của phân số bị trừ trừ đi tử của phân số trừ và giữ nguyên mẫu chung.
- Từ ta suy ra . Như vậy ta cũng có quy tắc chuyển vế đổi dấu như đối với số nguyên.
C – PHÉP NHÂN
+ Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau:
+ Lưu ý: Muốn nhân một số nguyên với một phân số (hoặc một phân số với một số nguyên), ta nhân số nguyên với tử của phân số và giữ nguyên mẫu:
+ Các tính chất:
•Tính chất giao hoán: .
•Tính chất kết hợp: .
•Nhân với số 1: 
• Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: 
D- PHÉP CHIA PHÂN SỐ
+ Số nghịch đảo : Hai số gọi là nghịch đảo của nhau nêu tích của chúng bằng .
+ Phép chia phân số 
Muốn chia một phân số hoặc một số nguyên cho một phân số ta nhân số bị chia với nghịch đảo của số
chia: 
+ Lưu ý: Muốn chia một phân số cho một số nguyên (khác 0), ta giữ nguyên tử của phân số và nhân mẫu với số nguyên: 
PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Phép cộng các phân số
I.Phương pháp giải.
- Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu
- Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta viết các phân số đó dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu rồi cộng các tử và giữa nguyên mẫu chung.
II.Bài toán.
Bài 1. Cộng phân số cùng mẫu ( rút gọn nếu có thể ) : 
a) b) c) d) e) 
Lời giải:
a) 
b) Trước hết ta sẽ đưa phân số thành phân số có mẫu dương, nghĩa là: 
Khi đó hai phân số sẽ cùng mẫu, ta thực hiện phép cộng hai phân số có cùng mẫu (rồi rút gọn nếu có thể):
c) Trước hết ta sẽ rút gọn phân số : 
Khi đó hai phân số sẽ cùng mẫu, ta thực hiện phép cộng hai phân số có cùng mẫu (rồi rút gọn nếu có thể):
d) 
e) 
Bài 2. Cộng phân số khác mẫu ( rút gọn nếu có thể ) : 
a) 	b) c) d) e) 
Lời giải:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 
Bài 3. Tìm x, biết : 
1) 2) 3) 
4) 5) 6) 	
7) 8) 9) 	
10) 	 11)	 12) 	
13)	14) 
Lời giải:
1) 
Vậy 
2) 
Vậy 
3) 
Vậy 
4) 
Vậy 
5) 
Vậy 
6) 
Vậy 
7) 
Vậy 
8) 
Vậy 
9) 
Vậy 
10) 	
Vậy 
11)	
Vậy 
12) 	
Vậy 
13)	
Vậy 
14) 
Vậy 
Bài 4. Hai người cùng làm chung một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất phải mất giờ, người thứ hai phải mất giờ mới xong công việc. Hỏi nếu làm chung thì mỗi giờ cả hai người làm được mấy phần công việc?
Lời giải:
Coi toàn bộ công việc là đơn vị.
Người thứ nhất làm xong công việc trong giờ. Suy ra trong giờ làm được công việc.
Người thứ hai làm xong công việc trong giờ. Suy ra trong giờ làm được công việc.
Vậy trong giờ, cả hai cùng làm thì được số phần công việc là: công việc.
Bài tập tương tự
Bài 5: Hai người cùng làm chung một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất phải mất giờ, người thứ hai phải mất giờ mới xong công việc. Hỏi nếu làm chung thì mỗi giờ cả hai người làm được mấy phần công việc?
Đán án: 
Bài 6: Hai người cùng làm chung một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất phải mất giờ phút, người thứ hai phải mất giờ phút mới xong công việc. Hỏi nếu làm chung thì mỗi giờ cả hai người làm được mấy phần công việc?
 Đán án: 
Bài 7: Hai người cùng làm chung một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất phải mất giờ phút, người thứ hai phải mất giờ phút mới xong công việc. Hỏi nếu làm chung thì mỗi giờ cả hai người làm được mấy phần công việc?
Đán án:
Bài 8: Hai vòi cùng chảy vào bể. Nếu vòi thứ nhất chảy thì phải mất giờ mới đầy bể. Nếu vòi thứ hai chảy thì phải mất giờ mới đầy bể. Hỏi trong giờ, hai vòi chảy được bao nhiêu phần bể?
Đán án: 
Bài 9 : Hai vòi cùng chảy vào bể. Nếu vòi thứ nhất chảy thì phải mất giờ phút mới đầy bể. Nếu vòi thứ hai chảy thì phải mấtgiờ phút mới đầy bể. Hỏi trong giờ, hai vòi chảy được bao nhiêu phần bể?
Đán án: 
Bài 10: Hai vòi cùng chảy vào bể. Nếu vòi thứ nhất chảy thì phải mất phút mới đầy bể. Nếu vòi thứ hai chảy thì phải mất phút mới đầy bể. Hỏi trong giờ, hai vòi chảy được bao nhiêu phần bể?
Đán án: 
Bài 11: Có quả cam chia cho người. Làm cách nào mà không phải cắt bất kỳ quả nào thành phần bằng nhau?
Lời giải:
 Lấy quả cam cắt mỗi quả thành phần bằng nhau, mỗi người được quả. Còn lại quả cắt làm phần bằng nhau, mỗi người được quả. Như vậy quả cam chia đều cho người, mỗi người được (quả).
Bài 12. Tính nhanh giá trị của biểu thức sau: 
a) b) 
c) 	d) 
Lời giải:
a) Ta có 
Vậy .
b) Ta có 
Vậy .
c) 	
Vậy .
d) 
Vậy .
Bài 13: Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:
Lời giải:
Bài 14.Tính tổng các phân số sau: 
Lời giải:
Cách 1: Nhận thấy (chuyển vế đổi dấu). 
Từ đó ta có:
Hai phân số và là hai phân số đối nhau nên 
Suy ra 
Cách 2: Đặt . 
Khi đó
Có 
Dạng 2. Phép trừ các phân số
I.Phương pháp giải.
Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ. Nghĩa là: 
II.Bài toán.
Bài 1.Thực hiện phép trừ
Lời giải:
Trước hết ta sẽ đưa phân số thành phân số có mẫu dương, nghĩa là: 
Khi đó hai phân số sẽ cùng mẫu, ta thực hiện phép trừ hai phân số có cùng mẫu (rồi rút gọn nếu có thể):
Áp dụng:Trừ các phân số (rút gọn nếu có thể)
1, 	 2, 	3, 	 4, 
5, 	 6, 	7, 	 8, 	
9, 	10, 	11, 	12, 
13, 	14, 	15, 	16, 
17, 	18, 	19, 	20, 
Lời giải:
1, 	
2, 	
3, 	
4, 
5, 	
6, 	
7, 
8, 	
9, 	
10, 
11, 
12, 
13, 
14, 
15, 
16, 
17, 
18, 
19, 
20, 
Bài 2. Tìm , biết
Ví dụ : Tìm , biết: 
Lời giải
Giống với số nguyên, ta áp dụng chuyển vế đổi dấu. Khi đó bài toán sẽ là: 
Vậy 
Áp dụng: Tìm , biết
1, 	2, 	3, 	
4, 	5, 	6, 
7, 	8, 	9, 
10, 	11, 	12, 
13,	14, 	15, 	
16, 	17, 	18, 	
19, 
Lời giải
1, 	
Vậy 
2, 	
Vậy 
3, 
Vậy 
4, 
Vậy 
5, 	
Vậy 	
6, 
Vậy 
7, 	
Vậy 
8, 
Vậy 
9, 	
 Vậy 	
10, 	
 Vậy 
11, 	
 Vậy 
12, 
 Vậy 
13,	
 Vậy 
14, 	
 Vậy 
15, 	
Vậy 
16, 
Vậy 
17, 	
Vậy 	
18, 	
Vậy 
19, 	
Vậy 
Bài 3.Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước. Trong một giờ, vòi thứ nhất chảy vào được bể, vòi thứ hai chảy vào được bể. Hỏi vòi nào chảy nhanh hơn và trong một giờ, cả hai vòi chảy được bao nhiêu phần bể?
Lời giải:
Coi toàn bộ bể là đơn vị.
Ta có phép trừ: 
Vậy trong giờ, khi chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy chậm hơn vòi thứ hai.
Vậy trong giờ, cả hai vòi cùng chảy thì được số phần bể là: bể.
Bài tập tương tự 
1) Hai người cùng làm chung một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất phải mất giờ, người thứ hai phải mất giờ mới xong công việc. Hỏi trong giờ, người nào làm nhanh hơn và nếu làm chung thì mỗi giờ cả hai người làm được mấy phần công việc?
Đán án:
Trong giờ:
- Người thứ nhất làm nhanh hơn.
- Cả hai người làm được ( công việc )
2)Hai người cùng làm chung một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất phải mất giờ, người thứ hai phải mất giờ phút mới xong công việc. Hỏi trong giờ, người nào làm nhanh hơn và nếu làm chung thì mỗi giờ cả hai người làm được mấy phần công việc?
Đán án:
Trong giờ:
- Người thứ nhất làm nhanh hơn
- Cả hai người làm được (công việc)
3)Hai người cùng làm chung một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất phải mất giờ, người thứ hai phải mất giờ phút mới xong công việc. Hỏi trong giờ, người nào làm nhanh hơn và nếu làm chung thì mỗi giờ cả hai người làm được mấy phần công việc?
Đán án:
Trong giờ:
- Người thứ nhất làm nhanh hơn
- Cả hai người làm được (công việc)
4)Hai vòi cùng chảy vào bể. Nếu vòi thứ nhất chảy thì phải mất giờ mới đầy bể. Nếu vòi thứ hai chảy thì phải mất giờ mới đầy bể. Hỏi trong giờ, vòi nào chảy nhanh hơn và hai vòi chảy được bao nhiêu phần bể?
Đán án:
Trong giờ:
- Vòi thứ nhất chảy nhanh hơn
- Cả hai vòi chảy được (bể)
5)Hai vòi cùng chảy vào bể. Nếu vòi thứ nhất chảy thì phải mất giờ mới đầy bể. Nếu vòi thứ hai chảy thì phải mất giờ mới đầy bể. Hỏi trong giờ, vòi nào chảy nhanh hơn và hai vòi chảy được bao nhiêu phần bể?
Đán án:
Trong giờ:
- Vòi thứ nhất chảy nhanh hơn
- Cả hai vòi chảy được (bể)
6)Hai vòi cùng chảy vào bể. Nếu vòi thứ nhất chảy thì phải mất giờ mới đầy bể. Nếu vòi thứ hai chảy thì phải mất giờphút mới đầy bể. Hỏi trong giờ, vòi nào chảy nhanh hơn và hai vòi chảy được bao nhiêu phần bể?
Đán án:
Trong giờ:
- Vòi thứ hai chảy nhanh hơn
- Cả hai vòi chảy được (bể)
7)Một kho chứa tấn thóc. Người ta lấy ra lần thứ nhất tấn, lần thứ hai lấy ra tấn thóc. Hỏi trong kho còn bao nhiêu tấn thóc?
Đán án:
8)Một kho chứa tấn thóc. Người ta lấy ra lần thứ nhất tấn, lần thứ hai lấy ra tấn thóc. Hỏi trong kho còn bao nhiêu tấn thóc?
Đán án:
9)Một kho chứatấn thóc. Người ta lấy ra lần thứ nhất tấn, lần thứ hai lấy ra tấn thóc. Hỏi trong kho còn bao nhiêu tấn thóc?
Đán án:
10)Một kho chứa tấn thóc. Người ta lấy ra lần thứ nhất tấn, lần thứ hai lấy ra tấn thóc. Hỏi trong kho còn bao nhiêu tấn thóc?
Đán án:
Bài 4: Tính nhanh giá trị của biểu thức sau: 
Ví dụ : 
Lời giải:
Ta có 
Hai phân số và là hai phân số đối nhau nên 
Vậy .
Áp dụng: 
a, 	b, 
c, 	d, 
Đáp án:
a, 	b, 	c, 	d, 
Bài 5: Tính
a) b) 
Lời giải:
a) 
b) 
Bài 6:Tính: 
Lời giải:
Áp dụng: Tính: 
Lời giải
Dạng 3: Phép nhân, chia các phân số
I. Phương pháp giải.
- Rút gọn (nếu có thể) các phân số trong đề bài; 
- Áp dụng quy tắc nhân, chia phân số. 
- Áp dụng các tính chất cơ bản của phép nhân phân số.
II. Bài toán.
Bài 1. Nhân các phân số:
Lời giải
Bài 2. Điền các số thích hợp vào bảng sau:
Lời giải:
Bài 3. Hoàn thành bảng nhân sau (rút gọn kết quả nếu có thể):
Lời giải
Bài 4. Tìm số nghịch đảo của: 
Lời giải:
	Các số nghịch đảo lần lượt là: 
Bài 5. Thực hiện phép chia phân số
Lời giải:
Bài 6. Tìm x, biết:
Lời giải
Bài 7: Tính diện tích và chu vi một mảnh vườn đồ chơi hình chữ nhật có chiều dài m và chiều rộng m.
Lời giải
Diện tích mảnh vườn là: 
Chu vi mảnh vườn là: 
Bài 8: Lúc giờ An đi xe đạp từ A đến B với vận tốc km/h. Cùng thời điểm đó thì Bình đi bộ từ B về A với vận tôc km/h. Hai bạn gặp nhau tại điểm hẹn lúc giờ phút. Tính độ dài quãng đường AB?
Lời giải
Thời gian An và Bình đi đến khi gặp nhau là: giờ phút - giờ - phút = giờ.
Quãng đường An đi: ( km)
Quãng đường Bình đi: ( km)
Độ dài quãng đường AB là: (km)
Bài 9. Một tấm bìa hình chữ nhật có diện tích là cm2, chiều rộng là cm.Tính chu vi của tấm bìa đó.
Lời giải
 Chiều dài của tấm bìa là (cm)
 Chu vi tấm bìa 
Bài 10.Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h hết giờ. Sau đó ôtô đi từ B đến A với vận tốc 50 km/h. Tính thời gian cả đi và về của ô tô.
Lời giải
Quãng đường AB bằng(km)
Thời gian ô tô đi từ B đến A là (giờ).
Vậy thời gian cả đi và về của ô tô là giờ
Dạng 4. Viết một phân số dưới dạng tích, thương của hai phân số 
I. Phương pháp giải.
a) Để viết một phân số dưới dạng tích hai phân số, ta làm như sau:
Bước 1. Rút gọn các phân số (nếu có thể);
Bước2. Viết các số nguyên ở tử và mẫu của phân số sau khi rút gọn dưới dạng tích của hai số nguyên;
Bước 3. Lập các phân số có tử và mẫu chọn trong các số nguyên ở bước trên.
b) Viết một phân số dưới dạng thương của hai phân số thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải:
• Viết tử và mẫu của phân số dưới dạng tích của hai số nguyên;
• Lập các phân số có tử và mẫu chọn trong các số nguyên đó sao cho chúng thỏa mãn điều kiện cho trước;
• Chuyển phép nhân phân số thành phép chia cho số nghịch đảo.
II.Bài toán.
Bài 1. Viết các phân số sau dưới dạng tích của hai phân số có tử và mẫu là các số nguyên, mẫu dương có một chữ số khác nhau:
Lời giải
	a) Nhận thấy và . Nên ta phân tích được 
	b) 
	c) 
	d) 
Bài 2. Viết các phân số sau dưới dạng tích của hai phân số có tử khác 1 và mẫu là các số nguyên dương:
Lời giải
	a) 	b)
	c) 	d) 
Bài 3. Viết phân số dưới dạng thương của hai phân số có:
a) Cả tử và mẫu đều là số nguyên dương;
b) Tử hoặc mẫu có một số nguyên âm.
Lời giải
	b) 
Dạng 5. Bài toán tổng hợp
I. Phương pháp giải:
*) Tính giá trị của biểu thức
Để tính giá trị của biểu thức được đúng và hợp lí, cần chú ý
• Thứ tự thực hiện các phép tính:
 ü Đối với biểu thức không chứa dấu ngoặc:
	Lũy thừa —> Phép nhân, chia —> Phép cộng và phép trừ
	üĐối với biểu thức có chứa dấu ngoặc: 
 ( )—> [ ]—> { }.
•Các tính chất cơ bản của phép nhân phân số.
*) Tìm x 
Ta cần xác định quan hệ giữa các số trong phép nhân, phép chia.
• Muốn tìm thừa số chưa biết, ta lấy tích chia cho thừa số đã biết; 
• Muốn tìm số bị chia, ta lấy thương nhân với số chia;
• Muốn tìm số chia, ta lấy số bị chia chia cho số chia.
II.Bài toán.
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức:
Lời giải
a) 	
Bài 2. Tính giá trị các biểu thức sau một cách hợp lí:
Lời giải
Bài 3.Tính giá trị của biểu thức:
Lời giải
Bài 4. Tính nhanh:; 	
Lời giải
	; 
Bài 5. Tìm x, biết:
Lời giải
Bài 6. Tìm x, biết: 
Lời giải
Bài 7. Tìm x, biết:
Lời giải