Giáo án Số học 6 (Cánh diều) - Chủ đề 3.4: Bội và ước của một số nguyên

CHỦ ĐỀ 3.4.BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Với và Nếu có số nguyên sao cho thì ta ta có phép chia hết (trong đó ta cũng gọi là số bị chia, là số chia, là thương). Khi đó ta nói chia hết cho , kí hiệu là .
Khi ( , ) ta còn gọi là bội của và là ướccủa .
2. Nhận xét
- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.
- Các số 1 và là ước của mọi số nguyên.
3. Tính chất
Có tất cả các tính chất như trong tập .
-Nếu chia hết cho và chia hết cho thì cũng chia hết cho .
 và 
- Nếu chia hết cho thì bội của cũng chia hết cho .
 ()
- Nếu , chia hết cho thì tổng và hiệu của chúng cũng chia hết cho .
- Nếu , chia cho cùng số dư thì chia hết cho .
Nhận xét:
- Nếu chia hết cho , chia hết cho thì 
- Nếu chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì chia hết cho .
- Nếu chia hết cho số nguyên tố thì chia hết cho .
- Nếu chia hết cho và nguyên tố chung nhau thì chia hết cho .
- Trong số nguyên liên tiếp có đúng một số chia hết cho .
II. CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1. Tìm bội và ước của số nguyên
I. Phương pháp giải
-Tập hợp các bội của số nguyên a có vô số phần tử và bằng 
- Tập hợp các ước số của số nguyên luôn là hữu hạn.
Cách tìm:
Trước hết ta tìm các ước số nguyên dương của phần số tự nhiên (làm như trong tập số tự nhiên), chẳng hạn là Khi đó cũng là ước số của a. Do đó các ước của a là , . 
Như vậy số các ước nguyên của gấp đôi số các ước tự nhiên của nó.
- Số ước nguyên dương của số là 
II. Bài toán
A. TRẮC NGHIỆM
Bài 1.Khi nào ta nói là bội của ? 
A. 	 B. 	 C. 	 D. 
Lời giải 
Đáp án: A 
Bài 2.Hãy nêu cách tìm bội của một số: 
A. nhân số đó lần lượt với 
B. nhân số đó lần lượt với 
C. chia số đó lần lượt cho 
D. chia số đó lần lượt cho 
Lời giải 
Đáp án: B 
Bài 3.Hãy chỉ ra số là ước của tất cả các số: 
Lời giải 
Đáp án: C 
Bài 4.Số 28 có bao nhiêu ước nguyên? 
Lời giải 
Đáp án: D 
Giải thích: ta có 
Số các ước nguyên dương của số 28 là 
Số các ước của 28 là 
Bài 5. Các số có 2 chữ số là ước của 60 là: 
Lời giải 
Đáp án: C 
Bài 6. Hãy tìm các số và 
Lời giải 
Đáp án: A 
B. TỰ LUẬN
Bài 1.Tìm năm bội của: .
Lời giải 
Cả 3 và -3 đều có chung các bội dạng ( ), nghĩa là: 
Chẳng hạn, năm bội của 3 và – 3 là :.
Bài 2. Tìm năm bội của 2 và -2.
Lời giải 
Muốn tìm một bội của 2, (-2) ta nhân 2, (-2) với một số nguyên nào đó. Chẳng hạn:
Năm bội của 2 là : 
Năm bội của -2 là :.
Tổng quát: Các bội của 2 và -2 có dạng là với : 
Bài 3. Tìm các bội của 
Lời giải 
Bài 4. Tìm tất cả các ước của 
Lời giải 
Các ước của -2 là : 
Cấc ước của 4 là : 
Các ước của 13 là : 
Các uớc của 15 là : 
Các ước của 1 là : 
Bài 5.Tìm tất cả các ước của 
Lời giải 
Kí hiệu   là tập hợp các ước của số nguyên , ta có:
hoặc viết gọn là: ; ;  ;     
Bài 6.Tìm tất cả các ước của 36.
Lời giải 
Phân tích 36 ra thừa số  nguyên tố: 
Để tìm tất cả các ước của 36 không bị sót, bị trùng, ta có thể làm như sau:
Ta viết:
                          hay           
                         hay          
Các ước nguyên dương của 36  là :
Tất cả có 9 ước  nguyên dương là:  .
Tập hợp tất cả các ước nguyên của 36 là :
Bài 7. Tìm tất cả các ước của 12 mà lớn hơn – 4.
Lời giải 
Các ước của 12 là: 
Các ước của 12 mà lớn hơn – 4 là .
Bài 8.Tìm các số tự nhiên sao cho: là ước của 28 
Lời giải 
Ta có: .
Vì , ta có bảng sau:
Vì là số tự nhiên nên 
Bài 9. Tìm các bội của -13 lớn hơn -40 nhưng nhỏ hơn 40.
Lời giải 
Các bội của -13 là 
Các bội của -13 lớn hơn -40 nhưng nhỏ hơn 40 
Bài 10.Tìm các số tự nhiên x là bội 75 đồng thời là ước của 600 
Lời giải 
Đáp án: 
Bài 11. Chứng tỏ rằng số có dạng là bội của 37 
Lời giải 
Đáp án: Ta có: nên là bội của 37 
Bài 12. Tìm các chữ số và sao cho vừa là bội của 5, vừa là bội của 6 
Lời giải 
Ta có nên 
Số chia hết cho cả 2 và 5 nên 
Ta có nên hay, do đó 
Vậy cả 3 số này vừa là bội của 5, vừa là bội của 6
Bài 13.
a) Tìm năm bội của: ;
b) Tìm các bội của , biết rằng chúng nằm trong khoảng từ đến 24.
Lời giải
a) Các bội số của đều có dạng ().
Chẳng hạn chọn năm bội số của là: ( ứng với lần lượt bằng ).
b) Các bội số của –12 có dạng 12.k (). Cần tìm sao cho:.
Tức là: , chọn 
Vậy các bội của nằm trong khoảng từ đến 24 là
Bài 14. Tìm tất cả các ước của:
a) ;	b) ;	c) 12.
Lời giải
a) Các ước tự nhiên của 3 là 1, 3.Do đó các ước của là 
b) Các ước tự nhiên của 25 là .Do đó các ước của 25 là 
c) Các ước tự nhiên của 12 là .Do đó các ước của 12 là 
Nhận xét:
Số tự nhiên a phân tích ra thừa số nguyên tố có dạng (p, q, r là số nguyên tố) thì số ước tự nhiên của a là Khi đó mỗi số nguyên đều có ước nguyên.
Số nguyên tố có 4 ước nguyên là 
Bài 15. Tìm số nguyên để:
a) chia hết cho ;	b) 8 chia hết cho ;
c) 9 chia hết cho ;	d) chia hết cho 17.
Lời giải
a) chia hết cho , nên là bội của 2 ( vì 5 không chia hết cho 2).
Vậy ( là số nguyên tùy ý).
b) 8 chia hết cho , nên là ước của 8.
Vậy 
c) 9 chia hết cho , nên là ước của 9.
Suy ra 
 Với suy ra hay 
 Với suy ra hay 
 Với suy ra hay 
 Với suy ra hay 
 Với suy ra hay 
 Với suy ra hay 
Vậy 
d) chia hết cho 17, nên là bội của 17. Do đó ().
Vậy ().
III. Bài tập có hướng dẫn
Bài 1. 
a) Tìm bốn bội của .
b) Tìm các bội của , biết rằng chúng nằm trong khoảng từ 100 đến 200.
HD
a) Chẳng hạn là: –18; –9; 0; 9
b) 120; 144; 168; 192
Bài 2. Tìm tất cả các ước của:
a) ;	b) 49;	c) .
HD
a) 
b) 
c) 
Bài 3. 
a) Tìm tập hợp ;
b) Tìm tập hợp .
HD
a) suy ra 
b) suy ra 
Bài 4. Tìm số nguyên để:
a) chia hết cho 3;	b) chia hết cho ;
c) chia hết cho ;	d) chia hết cho 18.
HD
a) mà (7; 3) = 1 nên do đó 
b) nên 
c) nên 
Vậy 
d) nên suy ra 
Bài 5. Tìm tập hợp .
HD
Suy ra 
Bài 6. Cho hai tập hợp và 
a) Viết tập hợp gồm các phần tử có dạng với 
b) Trong các tích trên có bao nhiêu tích chia hết cho 5?
HD
a) C = = 
( Chú ý: Các phần tử trong tập hợp phải khác nhau đôi một)
b) Trong các tích trên có 3 tích chia hết cho 5 ứng với và 
Dạng 2. Vận dụng tính chất chia hết của số nguyên
I. Phương pháp giải
Để chứng minh một biểu thức A chia hết cho số nguyên a;
- Nếu A có dạng tích thì cần chỉ ra m (hoặc n, hoặc p) chia hết cho a. Hoặc m chia hết cho n chia hết cho , p chia hết cho trong đó 
- Nếu A có dạng tổng m + n + p thì cần chỉ ra m, n, p cùng chia hết cho a, hoặc tổng các số dư khi chia m, n, p cho a phải chia hết cho a.
- Nếu A có dạng hiệu m – n thì cần chỉ ra m, n chia cho a có cùng số dư. Vận dụng tính chất chia hết để làm bài toán về tìm điều kiện để một biểu thức thỏa mãn điều kiện cho hết.
II. Bài toán
Bài 1. Chứng minh rằng: chia hết cho .
Lời giải
Nhóm tổng S thành tổng của các bội số của bằng cách:
Mỗi số hạng của tổng S đều chia hết cho , nên S chia hết cho .
Bài 2. Cho số Hỏi số a có chia hết cho không?
Lời giải
.
Số hạng đầu của chia hết cho 9, còn 7 không chia hết cho 9 nên không chia hết cho 9. Do đó cũng không chia hết cho .
Bài 3. Cho là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu chia hết cho 31 thì cũng chia hết cho 31. Điều ngược lại có đúng không?
Lời giải
Ta có: (*)
Do đó và từ (*) suy ra 
Mà 6 và 31 nguyên tố cùng nhau, nên suy ra 
Ngược lại, nếu , mà từ (*) suy ra 
Vậy điều ngược lại cũng đúng.
Ta có thể phát biểu bài toán lại như sau:
“Cho là các số nguyên. Chứng minh rằng chia hết cho 31 khi và chỉ khi chia hết cho 31”.
Bài 4. Tìm số nguyên sao cho:
a) chia hết cho 	b) là ước số của 
Lời giải
a) Nhận thấy 
Do nên khi và chỉ khi 
Suy ra hay Vậy 
b) Nhận thấy 
Do nên khi và chỉ khi 
Suy ra 
Vậy 
III. Bài tập có hướng dẫn
Bài 1. Chứng minh rằng: chia hết cho 
HD
= 
= 39 + 33.39 + 36.39 = 39.(1 + 33 + 36)
Suy ra nên 
Bài 2. Cho số (gồm 20 chữ số 1). Hỏi số a có chia hết cho 111 không?
HD
Nhận thấy:
=
Suy ra là tổng của hai số hạng trong đó có 1 số chia hết cho 111, 1 số không chia hết cho 111 nên không chia hết cho 111.
Vậy không chia hết cho 111.
Bài 3. Cho là các số nguyên. Chứng minh rằng chia hết cho 17 khi và chỉ khi chia hết cho 17.
HD
Xét hiệu 
Nhận thấy nên:
Nếu thì , mà nên 
Nếu thì , mà nên 
Bài 4. Tìm số nguyên sao cho:
a) chia hết cho ;	b) là ước số của 
HD
a) nên do đó 
Vậy 
b) Do nên 
Do đó 
Vậy 
Bài 5. Tìm cặp số nguyên sao cho:
a) 	b) 	c) 
HD
a) Vì 5 = 5.1 = nên ta có các trường hợp sau:
1) và và 
2) và và 
3) và và 
4) và và 
b) 
c) 
Do đó tìm được .
Bài 6. Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho 20x + 10y = 2010.
HD
Từ điều kiện đề bài suy ra 
201 là số lẻ và 2x là số chẵn, suy ra y là số lẻ. Khi đó y có dạng:
Chẳng hạn, bốn cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:
Bài 7. Tìm số nguyên sao cho là bội của 15 và là ước số của 1001.
HD
Ta có: là bội của 15 nên () suy ra ()
Mà là ước của 1001 nên kiểm tra thấy hay 
Vậy 
Dạng 3. TÌM SỐ NGUYÊN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN VỀ CHIA HẾT	
I. Phương pháp giải.
Áp dụng tính chất: Nếu chia hết cho và chia hết cho thì chia hết cho .
II. Bài toán.
Bài 1.Tìm các số tự nhiên sao cho 
Lời giải 
Ta có khi đó là ước của 10
Ta có bảng sau:
Suy ra ( )
Bài 2.Tìm sao cho :
a) chia hết cho; 	b) chia hết cho.
Lời giải 
a) Ta có: .
Ta có: chia hết cho. 
Do đó chia hết cho khi 5 chia hết cho , tức là là ước của 5. 
Ước của 5 gồm các số . 
Ta có bảng sau:
Suy ra 
b) 
Ta có: chia hết cho 
Do đó chia hết cho khi 7 chia hết cho 
Do đó là ước của 7.
Ước của 7 gồm các số . 
Ta có bảng sau:
Suy ra:.
Bài 3.Tìm các số nguyên thoả mãn:
Lời giải 
a) Ta có 
nên khi , tức là là ước của 3. 
Vì , ta có bảng sau:
ĐS :.
b) HD: Ta có 
nên khi , tức là là ước của 11. 
Đáp số:.
Bài 4.Tìm   sao cho :
a) chia hết cho 	b) chia hết cho.
Lời giải 
a) Ta có: .
Ta có: chia hết cho . 
Do đó chia hết cho khi 1 chia hết cho , tức là là ước của 1. 
Ước của 1 gồm các số . Suy ra .
b) Ta có: 
Ta có: chia hết cho . 
Do đó chia hết cho khi 4 chia hết cho , tức là là ước của 4. 
Ước của 4 gồm các số . Suy ra .
Bài 5.Tìm các số tự nhiên sao cho là bội của 
Lời giải 
 là bội của 
 mà 
Do đó 
Mà nên 
Bài 6.Tìm số nguyên biết rằng chia hết cho .
Lời giải 
Ta có: chia hết cho 
 chia hết cho 
Mà chia hết cho 
⇒ 7 chia hết cho 
thuộc ước của 7
mà 
Vậy 
Bài 7.Tìm số nguyên dương sao cho là bội của .
Lời giải 
 là bội của 
Mà . Do đó 
Mà nên 
Bài 8. Có hai số nguyên ,khác nhau mà chia hết cho và chia hết cho không ?
Lời giải 
 chia hết cho 
chia hết cho 
 hoặc 
Vì nên . Do đó: 
Vậy mọi cặp số nguyên đối nhau và khác  0 đều có tính chất chia hết cho () và () chia hết cho và chỉ những cặp số đó.
Bài 9. Cho hai tập hợp số: 
a) Có thể lập được bao nhiêu tổng dạng với ?
b) Trong các tổng trên có bao nhiêu tổng chia hết cho ?
Lời giải 
Giải
a) Ta lập bảng cộng sau :
Từ bảng trên, ta thấy có 15 tổng được tạo thành, trong đó có 7 tổng khác nhau:.
b) Có 7 tổng chia hết cho 2 là : 
(Có 3 tổng khác nhau chia hết cho 2 :).
Bài 10.Cho hai tập hợp số 
a) Có thể lập được bao nhiêu tổng dạng với?
b) Trong các tổng trên có bao nhiêu tổng chia hết cho 3?
Lời giải 
Lập bảng ta thấy :
Ta lập bảng cộng sau: 
Từ bảng trên, ta thấy có 15 tổng được tạo thành, trong đó có 7 tổng khác nhau :.
b) Trong đó có 5 tổng chia hết cho 3 là :. 
Như vậy có hai tổng khác nhau chia hết cho 3 là 18 và 21.