Giáo án ôn tập Hình học 7 (Kết nối tri thức với cuộc sống) - Chuyên đề 14: Các trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác

CHUYÊN ĐỀ 14.
CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI VÀ THỨ BA CỦA TAM GIÁC
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Trường hợp bằng nhau: cạnh - góc - cạnh
Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Xét DABC và DA¢B¢C¢ có:
AB = A¢B¢ ü
A = A¢	ï Þ DABC = DA¢B¢C¢ (c.g.c)
ý
AC = A¢C¢ï
þ
B	B'
A	I	A'	C'
Trường hợp bằng nhau: cạnh - góc - cạnh
Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Xét DABC và DA¢B¢C¢ có:
B = B¢	ü
AB = A¢B¢ï Þ DABC = DA¢B¢C¢(g.c.g)
ý
A = A¢	ï
þ
B	B'
A	C	A'	C'
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.
Dạng 1. Tìm hoặc chứng minh hai tam giác bằng nhau
Phương pháp giải:
+ Xét hai tam giác.
+ Kiểm tra ba điều kiện bằng nhau cạnh - góc - cạnh, góc – cạnh - góc.
+ Kết luận hai tam giác bằng nhau.
Bài toán.
Bài 1. MĐ1 Trong các hình vẽ sau, có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
A
E
M	N
B	D
Lời giải:
C	Q	P
Bài 2. MĐ1. Trong các hình vẽ sau, có hai tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
A	E
D
F	H
B	C
G
Lời giải:
Bài 3. MĐ1 Trong các hình vẽ sau, có hai tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
B	E
G	H	K	L
Q	P	N
GH // QP
Lời giải:
M	A	C	D	F
Bài 4. MĐ1 Trong các hình vẽ sau, có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
M
1 2
1 2
N	Q
P	O
Lời giải:
Bài 5. MĐ2 Nêu thêm một điều kiện để mỗi hình dưới đây là hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh.
A
P	Q
E	F
I
G
B
D
H
M	N
C
Lời giải:
Bài 6. MĐ2 Nêu thêm một điều kiện để mỗi hình dưới đây là hai tam giác bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh - góc.
M
O
A
E
B	C
D	N	P
Lời giải:
Bài 7. MĐ2 Qua trung điểm I của đoạn thẳng AB , kẻ đường thẳng vuông góc với AB , trên đường thẳng vuông góc đó lấy hai điểm C và D . Nối CA,CB, DA, DB . Tìm các cặp tam giác bằng nhau.
Lời giải:
Bài 8. MĐ2 Cho tam giác ABC , kẻ AH vuông góc với
BC, ( H Î BC ) . Trên. tia đối của tia HA lấy
điểm K sao cho HK = HA , nối
Lời giải:
KB, KC . Tìm các cặp tam giác bằng nhau.
Bài 9. MĐ2 Cho tam giác ABC có AB = AC . Gọi AM là tia phân giác góc A . Chứng minh
DABM = DACM .
A
1 2
1 2
B
M	C
Lời giải:
Bài 10. MĐ2 Cho tam giác ABC có B = C . Gọi AM là tia phân giác góc A . Chứng minh
DABM = DACM .
A
1 2
1 2
B
M	C
Lời giải:
Bài 11. MĐ2 Cho Oz là tia phân giác góc xOy . Trên các tia Ox,Oy,Oz lần lượt lấy các điểm
A, B, C (khác O ) sao cho OA = OB . Chứng minh DOAC = DOBC .
Lời giải:
Bài 12. MĐ3 Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên cạnh Ox lấy hai điểm A và B , trên cạnh Oy lấy hai điểm C và D , sao cho OA = OC;OB = OD .
Chứng minh DOAD = DOCB .
Chứng minh DACD = DCAB .
Lời giải:
Bài 13. MĐ3 Cho DABC vuông ở A . Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC .
Chứng minh DABC = DABD .
Trên tia đối của tia AB lấy điểm M . Chứng minh DMBD
Lời giải:
= DMBC .
Bài 14. MĐ3 Cho hình vẽ sau, trong đó
DOAB = DODC .
DOAC = DODB .
Lời giải:
AB // CD , AB = CD . Chứng minh rằng:
Bài 15. CĐ4 Cho góc nhọn xOy có tia Oz là tia phân giác. Qua điểm A thuộc tia Ox , vẽ đường thẳng song song với Oy cắt Oz tại M . Qua M kẻ đường thẳng song song với Ox cắt Oy tại B .
Chứng minh DOAM = DMBO .
Từ M vẽ MH ^ Ox ; MK ^ Oy . Chứng minh DMHO = DMKO .
Lời giải:
Bài 16. MĐ4 Cho tam giác ABC có
A = 90° và AB = AC . Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy
điểm D và E sao cho AD = AE . Qua A và D kẻ đường vuông góc với BE cắt BC lần lượt tại M
và N . Tia ND cắt tia CA tại I . Chứng minh rằng:
DAID = DABE .
Chứng minh CM = MN .
Lời giải:
Bài 17. MĐ4 Cho DABC , kẻ BD vuông góc với AC , CE vuông góc với AB . Trên tia đối của tia BD , lấy điểm H sao cho BH = AC . Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB . Chứng minh AH = AK .
Lời giải:
Dạng 2. Sử dụng trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh một tính chất khác
Phương pháp giải:
+ Chọn hai tam giác có cạnh (góc) là hai đoạn thẳng (góc) cần chứng minh bằng nhau.
+ Chứng minh hai tam giác ấy bằng nhau theo một trong hai trường hợp cạnh - góc - cạnh, góc
cạnh - góc rồi suy ra hai cạnh (góc) tương ứng bằng nhau.Kiểm tra ba điều kiện bằng nhau cạnh - góc
cạnh, góc - cạnh - góc .
+ Kết hợp với các tính chất đã học về tia phân giác, đường thẳng song song, đường trung trực, tổng ba góc trong một tam giác, ... để chứng minh một tính chất khác.
Bài toán.
Bài 1. MĐ1 Cho tam giác ABC có AB = AC , tia phân giác của góc A cắt BC tại M . Chứng minh:
BM = CM .
Lời giải:
Bài 2. MĐ1 Cho góc nhọn xOy có Om là tia phân giác, CÎOm
(C ¹ O) . Trên tia Ox lấy điểm A ,
trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB . Chứng minh: CA = CB .
Lời giải:
Bài 3. MĐ1 Cho DABC = DMNP . Gọi O và G lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và NP . Chứng minh AO = MG .
Lời giải:
Bài 4. MĐ2 Cho tam giác ABC có B = C . Tia phân giác của góc A cắt BC tại D .
Chứng minh AB = AC .
Chứng minh AD ^ BC .
Lời giải:
Bài 5. MĐ2 Cho
DABC có AB < AC . Phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D . Trên cạnh AC
lấy điểm E sao cho AE = AB . Chứng minh:
BD = ED .
DA là tia phân giác của góc BDE .
Lời giải:
Bài 6. MĐ2 Cho góc xOy khác góc bẹt và có Ot là tia phân giác. Lấy điểm C thuộc Ot (C ¹ O) .
Qua C kẻ đường vuông góc với Ot , cắt Ox, Oy theo thứ tự ở
Chứng minh: OA = OB .
A, B .
Lấy điểm D thuộc Ct ( D ¹ C ) . Chứng minh: DA = DB
Lời giải:
và OAD = OBD .
x
Bài 7. MĐ2 Cho DABC , M là trung điểm của BC . Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho
ME = MA . Chứng minh:
DABM = DECM .
AB = CE và
Lời giải:
AC // BE .
Bài 8. MĐ3 Cho tam giác ABC có
A = 80° . Dựng AH vuông góc với BC ( H Î BC ). Trên tia đối tia
14
HA lấy điểm D sao cho HD = HA .
Chứng minh: AC = DC .
Chứng minh: DABC = DDBC .
Xác định số đo góc BDC .
Lời giải:
Bài 9. MĐ3 Cho DABC trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B , lấy điểm D sao cho
AD // BC và AD = BC . Chứng minh:
AB = CD .
AB // CD và DABD = DCDB .
Lời giải:
Bài 10. MĐ3 Cho DABC có
B cắt AC ở D .
A = 90° , trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BA = BE . Tia phân giác góc
Chứng minh: DABD = DEBD .
Chứng minh: DA = DE .
Tính số đo BED .
Xác định độ lớn góc B để EDB = EDC .
Lời giải:
Bài 11. MĐ3 Cho DABC có AB < AC . Kẻ tia phân giác AD của BAC ( D Î BC ) . Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB , trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC . Chứng minh:
BD = ED .
BF = EC
DBDF = DEDC .
AD ^ FC .
Lời giải:
Bài 12. MĐ4 Cho tam giác
ABC ( AB < AC ) , tia Ax đi qua trung điểm M của BC . Kẻ BE và CF
vuông góc với Ax (E, F Î Ax) .
Chứng minh: BE // CF .
So sánh BE và FC ; CE và BF .
Tìm điều kiện về DABC để có BE = CE .
Lời giải:
Bài 13. MĐ4 Cho tam giác ABC . Đường thẳng qua A song song với BC cắt đường thẳng qua C song song với AB ở D . Gọi M là giao điểm của BD và AC .
Chứng minh DABC = DCDA .
Chứng minh M là trung điểm của AC .
Đường thẳng d qua M cắt các đoạn thẳng của IK .
Lời giải:
AD, BC lần lượt ở
I , K . Chứng minh M là trung điểm
Bài 14. MĐ4 Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AB và AD = AB ( D, C khác phía so với AB ). Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AC và AE = AC ( E, B khác phía so với AC ).
Chứng minh:
BE = DC .
BE ^ DC .
Lời giải:
Bài 15. MĐ4 Cho tam giác ABC nhọn. Gọi
M , N lần lượt là trung điểm của
AB, AC . Lấy điểm
E, D sao cho M , N là trung điểm của CE, BD .
Chứng minh:
Chứng minh:
Lời giải:
AD // BC .
A, E, D thẳng hàng.
Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1.
Bài 1. MĐ1 Trong các hình vẽ sau, có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
D	M
A
B	C	E	F	N	P
Bài 2. MĐ1 Trên mỗi hình 1, hình 2, hình 3 có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
A
A
E	C
S
F
K
Hình 1

O	B
G	B	D
Hình 2

C
H
Hình 3
Bài 3. MĐ1 Cho hình vẽ, chứng minh DABC = DMNP .
A	M
45°
70°
70°
65°
B	C	N	P
Bài 4. MĐ2 Cho DABC = DMNP . Gọi AD là đường phân giác góc A của tam giác ABC . Gọi ME là đường phân giác góc M của tam giác MNP . Chứng DABD = DMNE.
Bài 5. MĐ3 Cho góc xAy . Lấy điểm B trên Ax , điểm D trên Ay sao cho AB = AD
. Trên tia Bx
lấy điểm E , trên tia Dy lấy điểm C sao cho BE = DC . Chứng minh DABC = DADE .
Bài 6. MĐ4 Cho
DABC
có D là trung điểm của BC . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm
A , vẽ tia Bx // AC , Bx cắt tia AD ở E .
Chứng minh DADC = DEDB .
Trên tia đối của tia AC , lấy điểm F sao cho AF = AC . Gọi I là giao điểm của AB và EF . Chứng minh DAIF = DBIE .
Dạng 2.
Bài 1. MĐ1 Cho DABC có AB = AC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC , AB . Chứng minh rằng : BM = CN .
Bài 2. MĐ2 Cho DABC
DABM =DACM .
có AB = AC , phân giác
AM (M Î BC ) . Chứng minh:
M là trung điểm của BC và AM ^ BC .
Bài 3. MĐ2 Cho tam giác ABC có : AB = AC

và M là trung điểm của BC .
Chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC .
Chứng minh AM ^ BC .
Qua C kẻ đường thẳng d song song với AB cắt tia AM tại N . Chứng minh M là trung điểm của
AN .
Bài 4. MĐ2 Cho DABC , có B = C
giác của góc C cắt AB ở E .
và AB = AC . Tia phân giác của góc B cắt AC ở D . Tia phân
So sánh độ dài các đoạn thẳng BD và CE .
Gọi I là giao điểm BD và EC . Chứng minh BI = IC , IE = ID .
Bài 5. MĐ3 Cho DABC có AB = AC . Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A , vẽ tia Bx , Cy lần
lượt cắt hai cạnh AC , AB tại
Chứng minh AD = AE .
D, E sao cho ABD = ACE .
Gọi I là giao điểm của BD và CE . Chứng minh DEBI = DDCI .
Chứng minh AI ^ BC .
Bài 6. MĐ4 Cho tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và AC . Trên tia đối của tia NB lấy điểm D sao cho ND = NB . Trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho ME = MC . Chứng minh :
AD = BC .
AE // BC .
A là trung điểm của DE .
Bài 7. MĐ4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AM ^ AB ; AM = AB

sao cho M và
C khác phía đối với đường thẳng AB . Vẽ đoạn thẳng AN ^ AC và AN = AC sao cho N và B
khác phía đối với đường thẳng AC . Gọi
DAMC = DABN .
I , K lần lượt là trung điểm của BN và CM . Chứng minh :
MC = BN
AI = AK
và MC ^ BN . và AI ^ AI .
ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Tìm hoặc chứng minh hai tam giác bằng nhau
Bài 1. MĐ1 Trong các hình vẽ sau, có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
D	M
A
B	C	E	F	N	P
Lời giải:
Bài 2. MĐ1 Trên mỗi hình 1, hình 2, hình 3 có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
A
A
E	C
F
Lời giải:

K
Hình 1

O	B
S
G	B	D
Hình 2

C
H
Hình 3
Bài 3. MĐ1 Cho hình vẽ, chứng minh DABC = DMNP .
A	M
45°
70°
70°
65°
B	N
C	P
Lời giải:
Bài 4. MĐ2 Cho DABC = DMNP . Gọi AD là đường phân giác góc A của tam giác ABC . Gọi ME
là đường phân giác góc M của tam giác MNP . Chứng DABD = DMNE.
Lời giải:
Bài 5. MĐ3 Cho góc xAy . Lấy điểm B trên Ax , điểm D trên Ay sao cho AB = AD
. Trên tia
Bx lấy điểm E , trên tia Dy lấy điểm C sao cho BE = DC . Chứng minh DABC = DADE .
x
E
B
D
C
A
y
Lời giải:
Bài 6. MĐ4 Cho DABC có D là trung điểm của BC . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm
A , vẽ tia Bx // AC , Bx cắt tia AD ở E .
Chứng minh DADC = DEDB .
Trên tia đối của tia AC , lấy điểm F sao cho AF = AC . Gọi I là giao điểm của AB và EF . Chứng minh DAIF = DBIE .
Lời giải:
Dạng 2. Sử dụng trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh một tính chất khác
Bài 1. MĐ1 Cho DABC có AB = AC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC , AB . Chứng minh rằng : BM = CN .
Lời giải:
Bài 2. Cho DABC có AB = AC , phân giác AM (M Î BC ) . Chứng minh:
M là trung điểm của BC .
AM	^ BC .
Lời giải:
Bài 3. MĐ2 Cho tam giác ABC có : AB = AC và M là trung điểm của BC .
Chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC .
Chứng minh AM ^ BC .
Qua C kẻ đường thẳng d song song với AB cắt tia AM tại N . Chứng minh M là trung điểm của
AN .
Lời giải:
Bài 4. MĐ2 Cho
DABC , có B = C
và AB = AC . Tia phân giác của góc B cắt AC ở D . Tia phân
giác của góc C cắt AB ở E .
So sánh độ dài các đoạn thẳng BD và CE .
Gọi I là giao điểm BD và EC . Chứng minh BI = IC , IE = ID .
Lời giải:
Bài 5. MĐ3 Cho
DABC
có AB = AC . Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A , vẽ tia Bx , Cy lần
lượt cắt hai cạnh AC , AB tại
Chứng minh AD = AE .
D, E sao cho ABD = ACE .
Gọi I là giao điểm của BD và CE . Chứng minh DEBI = DDCI .
Chứng minh AI ^ BC .
Lời giải:
Bài 6. MĐ4 Cho tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và AC . Trên tia đối của tia NB lấy điểm D sao cho ND = NB . Trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho
ME = MC . Chứng minh :
AD = BC .
AE // BC .
A là trung điểm của DE .
Lời giải:
Bài 7. MĐ4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AM ^ AB ; AM = AB
sao cho M và
C khác phía đối với đường thẳng AB . Vẽ đoạn thẳng AN ^ AC và AN = AC sao cho N và B khác
phía đối với đường thẳng AC . Gọi I , K lần lượt là trung điểm của BN và CM . Chứng minh :
DAMC = DABN .
MC = BN và MC ^ BN
AI = AK
Lời giải:
và AI ^ AK .
PHIẾU BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm hoặc chứng minh hai tam giác bằng nhau
Phương pháp giải:
+ Xét hai tam giác.
+ Kiểm tra ba điều kiện bằng nhau cạnh - góc - cạnh, góc – cạnh - góc.
+ Kết luận hai tam giác bằng nhau.
Bài toán.
Bài 1. MĐ1 Trong các hình vẽ sau, có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
A
E
M	N
B	C	Q	P D
Bài 2. MĐ1 Trong các hình vẽ sau, có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
A	E
D
F	H
B	C
G
Bài 3. MĐ1 Trong các hình vẽ sau, có hai tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
B	E
G	H	K	L
Q	P	N
GH // QP
M	A	C	D	F
Bài 4. MĐ1 Trong các hình vẽ sau, có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
M
1 2
1	2
N	Q
P	O
Bài 5. MĐ2 Nêu thêm một điều kiện để mỗi hình dưới đây là hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh.
A
P	Q
E	F
I
G
B
D
H
M	N
C
Bài 6. MĐ2 Nêu thêm một điều kiện để mỗi hình dưới đây là hai tam giác bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh - góc.
M
O
A
E
B	C
D	N	P
Bài 7. MĐ2 Qua trung điểm I của đoạn thẳng AB , kẻ đường thẳng vuông góc với AB , trên đường thẳng vuông góc đó lấy hai điểm C và D . Nối CA,CB, DA, DB . Tìm các cặp tam giác bằng nhau.
Bài 8. MĐ2 Cho tam giác ABC , kẻ AH vuông góc với
BC, (H Î BC ) . Trên. tia đối của tia HA lấy
điểm K sao cho HK = HA , nối
KB, KC KB, KC . Tìm các cặp tam giác bằng nhau.
Bài 9. MĐ2 Cho tam giác ABC có AB = AC . Gọi AM là tia phân giác góc A . Chứng minh
DABM = DACM .
Bài 10. MĐ2 Cho tam giác ABC có B = C . Gọi AM là tia phân giác góc A . Chứng minh
DABM = DACM .
Bài 11. MĐ2 Cho Oz là tia phân giác góc xOy . Trên các tia Ox, Oy,Oz lần lượt lấy các điểm
A, B, C
(khác O ) sao cho OA = OB . Chứng minh DOAC = DOBC .
Bài 12. MĐ3 Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên cạnh Ox lấy hai điểm A và B , trên cạnh Oy lấy hai điểm C và D , sao cho OA = OC;OB = OD .
Chứng minh DOAD = DOCB .
Chứng minh DACD = DCAB .
Bài 13. MĐ3 Cho DABC vuông ở A . Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC .
Chứng minh DABC = DABD .
Trên tia đối của tia AB lấy điểm M . Chứng minh DMBD

= DMBC .
Bài 14. MĐ3 Cho hình vẽ sau, trong đó
DOAB = DODC .
DOAC = DODB .
AB // CD, AB = CD . Chứng minh rằng:
Bài 15. MĐ4 Cho góc nhọn xOy có tia Oz là tia phân giác. Qua điểm A thuộc tia Ox , vẽ đường thẳng song song với Oy cắt Oz tại M . Qua M kẻ đường thẳng song song với Ox cắt Oy tại B .
Chứng minh DOAM = DMBO .
Từ M vẽ MH ^ Ox ; MK ^ Oy . Chứng minh DMHO = DMKO .
Bài 16. MĐ4 Cho tam giác ABC có
A = 90° và AB = AC . Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy
điểm D và E sao cho AD = AE . Qua A và D kẻ đường vuông góc với BE cắt BC lần lượt tại M
và N . Tia ND cắt tia CA tại I . Chứng minh rằng:
DAID = DABE .
Chứng minh CM = MN .
Bài 17. MĐ4 Cho DABC , kẻ BD vuông góc với AC , CE vuông góc với AB . Trên tia đối của tia BD
, lấy điểm H sao cho BH = AC . Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB . Chứng minh
AH = AK .
Dạng 2. Sử dụng trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh một tính chất khác
Phương pháp giải:
+ Chọn hai tam giác có cạnh (góc) là hai đoạn thẳng (góc) cần chứng minh bằng nhau.
+ Chứng minh hai tam giác ấy bằng nhau theo một trong hai trường hợp cạnh - góc - cạnh, góc - cạnh - góc rồi suy ra hai cạnh (góc) tương ứng bằng nhau.Kiểm tra ba điều kiện bằng nhau cạnh - góc - cạnh, góc - cạnh - góc .
+ Kết hợp với các tính chất đã học về tia phân giác, đường thẳng song song, đường trung trực, tổng ba góc trong một tam giác, ... để chứng minh một tính chất khác.
Bài toán.
Bài 1. MĐ1 Cho tam giác ABC có AB = AC , tia phân giác của góc A cắt BC tại M . Chứng minh:
BM = CM .
Bài 2. MĐ1 Cho góc nhọn xOy có Om là tia phân giác, CÎOm (C ¹ O) . Trên tia Ox lấy điểm A , trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB . Chứng minh: CA = CB .
Bài 3. MĐ1 Cho
DABC = DMNP . Gọi O và G lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và NP .
Chứng minh AO = MG .
Bài 4. MĐ2 Cho tam giác ABC có B = C . Tia phân giác của góc A cắt BC tại D .
Chứng minh AB = AC .
Chứng minh AD ^ BC .
Bài 5. MĐ2 Cho
DABC có AB < AC . Phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D . Trên cạnh AC
lấy điểm E sao cho AE = AB . Chứng minh:
BD = ED .
DA là tia phân giác của góc BDE .
Bài 6. MĐ2 Cho góc xOy khác góc bẹt và có Ot là tia phân giác. Lấy điểm C thuộc Ot (C ¹ O) . Qua
C kẻ đường vuông góc với Ot , cắt Ox, Oy theo thứ tự ở
Chứng minh: OA = OB .
A, B .
Lấy điểm D thuộc Ct (D ¹ C ) . Chứng minh: DA = DB
và OAD = OBD .
Bài 7. MĐ2 Cho DABC , M là trung điểm của BC . Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho
ME = MA . Chứng minh:
DABM = DECM .
AB = CE và
AC // BE .
Bài 8. MĐ3 Cho tam giác ABC có
A = 80° . Dựng AH vuông góc với BC ( H Î BC ). Trên tia đối
tia HA lấy điểm D sao cho HD = HA .
Chứng minh: AC = DC .
Chứng minh: DABC = DDBC .
Xác định số đo góc BDC .
Bài 9. MĐ3 Cho
DABC
trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B , lấy điểm D sao cho
AD // BC và AD = BC . Chứng minh:
AB = CD .
AB // CD và DABD = DCDB .
Bài 10. MĐ3 Cho DABC có
B cắt AC ở D .
A = 90° , trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BA = BE . Tia phân giác góc
Chứng minh: DABD = DEBD .
Chứng minh: DA = DE .
Tính số đo BED .
Xác định độ lớn góc B để EDB = EDC .
Bài 11. MĐ3 Cho
DABC
có AB < AC . Kẻ tia phân giác AD của BAC (D Î BC ) . Trên cạnh AC
lấy điểm E sao cho AE = AB , trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC . Chứng minh:
BD = ED .
BF = EC
DBDF = DEDC .
AD ^ FC .
Bài 12. MĐ4 Cho tam giác ABC ( AB < AC ) , tia Ax đi qua trung điểm M của BC . Kẻ BE và CF
vuông góc với Ax (E, F Î Ax) .
Chứng minh: BE // CF .
So sánh BE và FC ; CE và BF .
Tìm điều kiện về
DABC
để có BE = CE .
Bài 13. MĐ4 Cho tam giác ABC . Đường thẳng qua A song song với BC cắt đường thẳng qua C
song song với AB ở D . Gọi M là giao điểm của BD và AC .
Chứng minh DABC = DCDA .
Chứng minh M là trung điểm của AC .
Đường thẳng d qua M cắt các đoạn thẳng
của IK .
AD, BC lần lượt ở
I , K . Chứng minh M là trung điểm
Bài 14. MĐ4 Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AB và AD = AB
( D, C
khác phía so với AB ). Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AC và AE = AC ( E, B khác phía so với
AC ). Chứng minh:
BE = DC .
BE ^ DC .
Bài 15. MĐ4 Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
AB, AC . Lấy điểm
E, D
sao cho M , N là trung điểm của CE, BD .
Chứng minh:
Chứng minh:
AD // BC .
A, E, D thẳng hàng.
Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng 1. Tìm hoặc chứng minh hai tam giác bằng nhau
Bài 1. MĐ1 Trong các hình vẽ sau, có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
D	M
A
B	C	E	F	N	P
Bài 2. MĐ1 Trên mỗi hình 1, hình 2, hình 3 có các tam giác nào bằng nhau? Vì sao?
A
A
E	C
S
F
K
Hình 1

O	B
G	B	D
Hình 2

C
H
Hình 3
Bài 3. MĐ1 Cho hình vẽ, chứng minh DABC = DMNP .
A	M
45°
70°
70°
65°
B	C	N	P
Bài 4. MĐ2 Cho
DABC = DMNP . Gọi AD là đường phân giác góc A của tam giác ABC . Gọi ME
là đường phân giác góc M của tam giác MNP . Chứng DABD = DMNE.
Bài 5. MĐ3 Cho góc xAy . Lấy điểm B trên Ax , điểm D trên Ay sao cho AB = AD

. Trên tia Bx
lấy điểm E , trên tia Dy lấy điểm C sao cho BE = DC . Chứng minh DABC = DADE .
Bài 6. MĐ4 Cho
DABC
có D là trung điểm của BC . Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm
A , vẽ tia Bx // AC , Bx cắt tia AD ở E .
Chứng minh DADC = DEDB .
Trên tia đối của tia AC , lấy điểm F sao cho AF = AC . Gọi I là giao điểm của AB và EF . Chứng minh DAIF = DBIE .
Dạng 2. Sử dụng trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh một tính chất khác
Bài 1. MĐ1 Cho DABC có AB = AC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC , AB . Chứng minh rằng : BM = CN .
Bài 2. MĐ2 Cho DABC
DABM =DACM .
có AB = AC , phân giác AM (M Î BC ) . Chứng minh:
M là trung điểm của BC và AM ^ BC .
Bài 3. MĐ2 Cho tam giác ABC có : AB = AC

và M là trung điểm của BC .
Chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC .
Chứng minh AM ^ BC .
Qua C kẻ đường thẳng d song song với AB cắt tia AM tại N . Chứng minh M là trung điểm của
AN .
Bài 4. MĐ2 Cho
DABC , có B = C
và AB = AC . Tia phân giác của góc B cắt AC ở D . Tia phân
giác của góc C cắt AB ở E .
So sánh độ dài các đoạn thẳng BD và CE .
Gọi I là giao điểm BD và EC . Chứng minh BI = IC , IE = ID .
Bài 5. MĐ3 Cho
DABC
có AB = AC . Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A , vẽ tia Bx , Cy lần
lượt cắt hai cạnh AC , AB tại
Chứng minh AD = AE .
D, E sao cho ABD = ACE .
Gọi I là giao điểm của BD và CE . Chứng minh DEBI = DDCI .
Chứng minh AI ^ BC .
Bài 6. MĐ4 Cho tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và AC . Trên tia đối của tia NB lấy điểm D sao cho ND = NB . Trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho ME = MC Chứng minh :
AD = BC .
AE // BC .
A là trung điểm của DE .
Bài 7. MĐ4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AM ^ AB ; AM = AB

sao cho M và
C khác phía đối với đường thẳng AB . Vẽ đoạn thẳng AN ^ AC và AN = AC sao cho N và B khác
phía đối với đường thẳng AC . Gọi I , K lần lượt là trung điểm của BN và CM . Chứng minh :
DAMC = DABN .
MC = BN
AI = AK
và MC ^ BN . và AI ^ AI .