Giáo án Hình học 6 (Cánh diều) - Chuyên đề 8.2: Đoạn thằng. Trung điểm của đoạn thẳng

HH6. CHUYÊN ĐỀ 8 -ĐOẠN THẰNG. TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG.
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Nhận biết đoạn thẳng, trung điểm của đoạn thẳng.
Biết số đo độ dài đoạn thẳng, vẽ đoạn thẳng trên tia.
Giải các bài toán thực tế có liên quan đến đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng và trung điểm của đoạn thẳng.
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI 
Dạng 1. Nhận biết đoạn thẳng.
I. Phương pháp giải: 
Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dài đoạn thẳng là một số lớn hơn .
II. Bài toán 
Bài 1. Trên đường thẳng a lấyđiểm phân biệt. Hỏi có mấy đoạn thẳng? Hãy gọi tên các đoạn thẳng ấy?
Lời giải
Có 6 đoạn thẳng. Gồm đoạn thẳng: .
Bài 2. Kể tên các đoạn thẳng có trong hình dưới đây:
Lời giải
Các đoạn thẳng có trên hình vẽ là: .
Bài 3. Với 4 điểm như hình vẽ, em hãy kể tên các đoạn thẳng có đầu mút là:
a. Hai trong ba điểm 
b. Hai trong 4 điểm 
Lời giải
Các đoạn thẳng là: 
Các đoạn thẳng là: 
Bài 4. Hãy đọc tên tất cả các đoạn thẳng trong hình vẽ dưới đây:
Lời giải 
Các đoạn thẳng là: 
Dạng 2. So sánh đoạn thẳng
I.Phương pháp giải: Để so sánh hai đoạn thẳng, ta thường làm như sau:
Bước 1. Đo độ dài của mỗi đoạn thẳng;
Bước 2.So sánh độ dài của các đoạn thẳng đó.
II. Bài toán 
Bài 1. Cho các đoạn thẳng ở hình vẽ dưới đây: 
a. Hãy đo độ dài các đoạn thẳng ở hình vẽ trên.
b. So sánh hai độ dài của hai đoạn thẳng và ; và .
Lời giải 
a. 
b. 
Bài 2. Cho hình vẽ bên: Hãy đo các đoạn thẳng rồi sắp xếp độ dài đoạn thẳng theo thứ tự tăng dần. 
Lời giải
Đo đoạn thẳng: ; ; ; ; ; 
Sắp xếp độ dài theo thứ tự tăng dần: .
Bài 3. Cho ba điểm cùng nằm trên một đường thẳng như hình vẽ . Biết , . Tính độ dài đoạn thẳng 
Lời giải
Theo hình vẽ, ta có: 
Suy ra: .
Bài 4.Dùng compa vẽ đường tròn tâm có bán kính cm.Gọi và là hai điểm tùy ý trên đường tròn đó.Hai đoạn thẳng và có bằng nhau không ?
Lời giải
bằng độ dài bán kính đường tròn.
Bài 5. 
a. Đo độ dài các đoạn thẳng : 
b. Điền độ dài các đoạn thẳng vào chỗ chấm : , 
c. So sánh với . Nêu nhận xét.
Lời giải
a.; ; 
b. 
c. Nhận xét: Nếu điểm nằm giữa hai điểm và thì .
Dạng 3. Vẽ đoạn thẳng trên tia
I.Phương pháp giải
Cho tia , vẽ điểm trên tia sao cho .
 + Trên tia , ta luôn vẽ được một điểm sao cho .
Cho tia , trên tia vẽ hai điểm và sao cho , .
Có nhận xét gì về vị trí của điểm so với điểm O và .
+ Trên cùng một tia , vẽ hai điểm và , nếu thì điểm nằm giữa hai điểm và .
+ Trên cùng một tia , vẽ ba điểm nếu thì nằm giữa và .
II.Bài toán.
Bài 1. Trên tia , vẽ hai điểm và sao cho , .
a. Trong ba điểm điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.
b. Tính độ dài đoạn .
Lời giải
a. Trên tia , vẽ hai điểm và sao cho , ( nên điểm nằm giữa hai điểm và .
b. Vì điểm nằm giữa hai điểm và nên 
hay 
Bài 2. Trên tia , vẽ ba điểm sao cho , và .
a. Trong ba điểm điểm nào nằm giữa ba điểm còn lại.
b. Trong ba điểm điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.
c. Tính độ dài đoạn và độ dài đoạn .
Lời giải
a. Trên tia , vẽ ba điểm sao cho và ta có: nên điểm nằm giữa hai điểm và .
b. Trên tia , vẽ ba điểm sao cho và ta có: nên điểm nằm giữa hai điểm và .
c. Vì điểm nằm giữa hai điểm và nên 
hay 
Trên tia có , nên điểm nằm giữa hai điểm và .
Do đó: 
Hay 
Bài 3. Trên tia lấy hai điểm và sao cho , .
a. Tính độ dài đoạn .
b. Vẽ tia là tia đối của tia , trên tia lấy điểm sao cho . Tính và .
Lời giải
a. Trên tia : , . Vì nên điểm nằm giữa hai điểm và .
Do đó: 
Hay .
b. Vì tia là tia đối của tia , trên tia lấy điểm , trên tia lấy hai điểm và nên điểm nằm giữa hai điểm và ; điểm nằm giữa hai điểm và .
+ Ta có: 
Hay 
+ Có: 
Hay
Vậy .
Bài 4. Cho đoạn thẳng . Trên đoạn lấy điểm sao cho .
a. Tính .
b. Lấy điểm thuộc tia đối của tia sao cho . So sánh độ dài và .
Lời giải 
a. Vì điểm thuộc đoạn nên 
hay 
b. Ta có điểm thuộc tia đối của tia , điểm thuộc đoạn nên điểm nằm giữa hai điểm và .
Do đó: 
hay 
Vậy 
Bài 5. Cho đường thẳng . Điểm thuộc đường thẳng . Trên tia lấy hai điểm và sao cho , .
a. Tính đoạn thẳng .
b. Lấy điểm thuộc tia sao cho . Chứng minh .
Lời giải
a. Trên tia lấy hai điểm và : , có nên điểm nằm giữa hai điểm và .
Do đó: 
Hay 
b. Vì điểmthuộc đường thẳng,mà điểm thuộc tia nên điểm nằm giữa hai điểm và 
Do đó: 
hay 
Vậy .
Bài 6. Lấy điểm thuộc đường thẳng . Trên tia lấy điểm sao cho . Trên tia lấy điểm sao cho .
a. Kể tên các tia đối nhau gốc .
b. Tính độ dài đoạn .
c. So sánh độ dài đoạn , có bằng nhau không? 
Lời giải
a. Các tia đối nhau gốc : và ; và ; và .
b. Vì điểm thuộc đường thẳng , điểm thuộc tia , điểm thuộc tia nên điểm nằm giữa hai điểm và .
Do đó: 
hay 
Vậy .
c. .
Bài 7. Cho đoạn thẳng , Lấy điểm trên đoạn sao cho .
a. Tính độ dài đoạn .
b. Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Tính độ dài đoàn .
Lời giải
a. Vì điểm thuộc đoạn nên 
 hay 
Vậy .
b. Trên tia đối của tia lấy điểm hay điểm nằm giữa hai điểm và .
Do đó: 
Hay.
Vậy .
Bài 8. Cho đoạn thẳng . Lấy điểm trên đoạn sao cho .
a. Tính độ dài đoạn .
b. Trên tia đối của tia , lấy điểm sao cho . Tính độ dài đoạn .	
Lời giải
a. Vì điểm thuộc đoạn nên 
 hay 
b. Ta có điểm thuộc tia đối của tia nên điểm nằm giữa hai điểm và .
Do đó: 
hay 
Vậy .
Bài 9. Trên tia , lấy ba điểm sao cho , và .
a. Tính đoạn .
b. Tính đoạn .
c. Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . So sánh đoạn và đoạn .
Lời giải
Trên tia có: , và . Vì nên điểm nằm giữa hai điểm và ; điểm nằm giữa hai điểm và . 
a. Ta có: 
hay .
b. Ta có: 
hay .
c. Trên tia đối của tia lấy điểm , mà điểm thuộc tia nên điểm nằm giữa hai điểm và .
Do đó: 
hay 
Vậy .
Bài 10. Trên tia lấy điểm sao cho . Lấy tiếp điểm sao cho .
a. Có những trường hợp nào xảy ra?
b. Tính độ dài đoạn trong từng trường hợp.
Lời giải
a. Có hai trường hợp lấy điểm .
Trường hợp 1: điểm thuộc tia đối của tia .
Trường hợp 2: điểm thuộc đoạn .
b. Trường hợp 1: điểm thuộc tia đối của tia .
Nên điểm nằm giưa hai điểm và .
Do đó: 
Hay 
Trường hợp 2: điểm thuộc đoạn .
Ta có: 
Hay .
Dạng 4. Trung điểm của đoạn thẳng.	
I.Phương pháp giải
Cho đoạn thẳng . Điểm m thuộc đoạn AB sao cho .Khi đó điểm M gọi là trung điểm của đoạn AB.	
Ví dụ. Tìm trung điểm trong một số hình sau:
 M là trung điểm của AB nếu M nằm giữa A, B và . (M nằm ở chính giữa A và B)
Dạng 4. 1. Tính độ dài đoạn thẳng liên quan tới trung điểm.
I. Phương pháp giải.
Để tính độ dài đoạn thẳng ta thường sử dụng các nhận xét sau:
- Nếu điểm nằm giữa hai điểm thì 
- Nếu là trung điểm của đoạn thẳng thì 
* Các ví dụ
Ví dụ 1. Vẽ đoạn thẳng . là điểm nằm giữa và , . là trung điểm của . Tính .
Lời giải
Ta có nằm giữa và nên 
Hay .
Vì là trung điểm nên 
Ví dụ 2. Cho đoạn thẳng . là điểm nằm giữa và. Gọi lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng . Tính 
Lời giải
 là điểm nằm giữa và nên 
Mà 
Do đó: 
II. Bài toán.
Bài 1. Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Tính độ dài hai đoạn thẳng và , biết .
Lời giải
Vì là trung điểm của đoạn thẳng nên .
Bài 2. Gọi là trung điểm của đoạn thẳng . Tính độ dài hai đoạn thẳng và , biết .
Lời giải
Vì là trung điểm của đoạn thẳng nên .
Bài 3. Cho điểm thuộc đường thẳng . Trên tia lấy điểm sao cho . Trên tia lấy điểm sao cho . Gọi lần lượt là trung điểm của và .
a. Chứng tỏ nằm giữa và .
b. Tính độ dài đoạn thẳng .
Lời giải
a. Vì điểm thuộc đường thẳng ; mà điểm thuộc tia , điểm thuộc tia nên điểm nằm giữa và .
b. Ta có điểm là trung điểm của nên .
Ta có điểm là trung điểm của nên .
Theo câu a, điểm nằm giữa và nên 
Hay .
Bài 4. Cho và là hai tia đối nhau. Trên tia lấy điểm sao cho . Trên tia lấy điểm sao cho . Gọi và lần lượt là trung điểm của và .
a. Trong ba điểm điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao?
b. Tính độ dài các đoạn thẳng , và .
Lời giải
a. Vì điểm thuộc đường thẳng ; mà điểm thuộc tia , điểm thuộc tia nên điểm nằm giữa và .
b. Ta có điểm là trung điểm của nên .
Ta có điểm là trung điểm của nên .
Theo câu a, điểm nằm giữa và nên 
Hay .
Bài 5. Trên lấy hai điểm sao cho . Gọi là trung điểm của đoạn thẳng .
a. Tính độ dài đoạn thẳng .
b. Chứng tỏ nằm giữa và .
c. Tính độ dài .
Lời giải
a. Trên lấy hai điểm : nên điểm nằm giữa hai điểm và .Do đó 
.
b. Vì Gọi là trung điểm của đoạn thẳng nên .
Do đó: nằm giữa hai điểm và .
Mà điểm nằm giữa hai điểm và .
Mặt khác: 
Suy ra nằm giữa và .
c. Ta có điểm nằm giữa và nên 
hay .
Bài 6. Trên tia , lấy hai điểm và sao cho . Gọi là trung điểm của đoạn thẳng .
a. Tính d? dài.
b. Chứng tỏ nằm giữa hai điểm và . 
Lời giải
a. Vì hai điểm và thuộc : nên điểm nằm giữa hai điểm và .
Do đó: 
Hay .
b. Ta có là trung điểm của đoạn thẳng nên .
Vì hai điểm và thuộc , mà là trung điểm của đoạn thẳng nên cũng thuộc tia .
Mặt khác: nên điểm nằm giữa hai điểm và . 
Dạng 4.2: Chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thằng, chứng minh đẳng thức độ dài có liên quan.
I. Phương pháp giải. 
Để chứng minh là trung điểm của đoạn thẳng , ta thường làm như sau:
Bước 1: Chứng tỏ nằm giữa và .
Bước 2: Chứng tỏ .
* Các ví dụ.
Ví dụ. Trên tia lấy điểm và sao cho (H.30).
1. Chứng tỏ điểm nằm giữa hai điểm và .
2. Chứng tỏ điểm là trung điểm của đoạn thẳng .
Giải
1. Điểm và cùng thuộc tia , nên tia 	
 và tia trùng nhau. 
Mà , nên 
suy ra phải nằm giữa hai điểm O và . (1)
2. Vì nằm giữa hai điểm O và , nên ta có : .
Thay số ta có: 
Suy ra: (2)
Từ (1) và (2) suy ra: là trung điểm của đoạn .
II. Bài toán
Bài 1. Trên tia đặt . Chứng tỏ rằng là trung điểm của đoạn thẳng 
Lời giải
 nằm giữa và ; . 
Bài 2. Cho điểm sao cho . Chứng tỏ rằng là trung điểm .
Lời giải
Nên nằm giữa và (1)
Mà (2)
Từ (1) và (2) suy ra là trung điểm .
Bài 3. Trên tia lấy . là trung điểm của đoạn thẳng . Chứng minh: 
Lời giải
 nằm giữa và , nằm giữa và , nằm giữa và 
Bài 4. Cho đoạn thẳng . là trung điểm của đoạn thẳng . là điểm nằm giữa và . Chứng tỏ: 
Lời giải
Lại có: 	
Nên 
Bài 5. Trên đường thẳng lần lượt lấy điểm sao cho .
a. Chứng minh: 
b. Gọi lần lượt là trung điểm và . Chứng minh 
Lời giải
a) Ta có và 
Mà 
Nên 
b) suy ra 
Bài 6. Cho đoạn thẳng , Vẽ điểm thuộc đoạn sao cho .
a. Trong ba điểm điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?
b. có phải là trung điểm của không? Vì sao?
Lời giải 
a. Ta có điểm thuộc đoạn nên: .
b. Vì nằm giữa hai điểm nên:
Hay .
Suy ra 
Ta có: nằm giữa hai điểm và nên là trung điểm của .
Bài 7. Vẽ tia , Trên tia lấy điểm và sao cho .
a. Tính đoạn .
b. Điểm có là trung điểm của đoạn không? Vì sao?
c. Vẽ tia là tia đối của tia . Trên tia lấy điểm sao cho . Tính .
Lời giải
a. Trên tia có: nên điểm nằm giữa hai điểm và .
Do đó: 
Hay .
b. Điểm là trung điểm của đoạn vì: Điểm nằm giữa hai điểm và ; .
c. Vì tia là tia đối của tia ; Trên tia lấy điểm , tia lấy điểm nên điểm nằm giữa hai điểm và .
Do đó: 	
Hay 
Vậy .
Bài 8. Trên tia lấy hai điểm và sao cho .
a. có là trung điểm của đoạn không? Vì sao?
b. Trên tia đối của tia , vẽ điểm sao cho . Hỏi điểm nào là trung điểm của ?
Lời giải
a. Trên tia có: nên điểm nằm giữa hai điểm và . (1)
Do đó: 
Hay .
Suy ra . (2)
Vậy điểm là trung điểm của đoạn (theo (1) và (2)) 
c. Vẽ tia là tia đối của tia ; Trên tia lấy điểm , tia lấy điểm nên điểm nằm giữa hai điểm và .
Mà 
Suy ra: điểm là trung điểm của .
Bài 9. Trên tia lấy ba điểm sao cho , và .
a. có là trung điểm của đoạn không? Vì sao?
b. có là trung điểm của đoạn không? Vì sao?
c. Chứng minh là trung điểm của đoạn .
Lời giải
a. +) Trên tia có: nên điểm nằm giữa hai điểm và . 
Do đó: 
Hay .
Vậy điểm không phải là trung điểm của đoạn vì .
+) Trên tia có: nên điểm nằm giữa hai điểm và . 
Do đó: 
Hay .
Vậy điểm không phải là trung điểm của đoạn vì .
b. Trên tia lấy ba điểm : , và () nên điểm nằm giữa hai điểm và . 
Vậy điểm là trung điểm của đoạn vì nằm giữa hai điểm và và .
Bài 10. Trên tia lấy hai điểm và sao cho , .
a. Tính độ dài đoạn .
b. Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho là trung điểm của . Chứng minh là trung điểm của đoạn .
Lời giải:
a. Trên tia có: nên điểm nằm giữa hai điểm và . 
Do đó: 	
Hay .
b. Vì là trung điểm của nên . 
Nên .
Ta có nằm giữa hai điểm và (1)
nên .
Hay . (2)
Từ (1) và (2) suy ra: là trung điểm của đoạn .
Bài 11. Cho đoạn thẳng . Lấy điểm thuộc đoạn sao cho .
a. Tính độ dài đoạn .
b. Lấy là trung điểm của đoạn thẳng . Hỏi có là trung điểm của không? Vì sao?
Lời giải
a. Ta có điểm thuộc đoạn nên 
Hay .
b. Vì là trung điểm của đoạn thẳng nên .
Ta có nằm giữa hai điểm và ; nên là trung điểm của .
Bài 12. Trên tia , lấy hai điểm và sao cho , .
a. Tính độ dài đoạn .
b. Gọi là trung điểm của . Tính độ dài đoạn .
Lời giải
a. Trên tia có: nên điểm nằm giữa hai điểm và . 
Do đó: 
Hay .
b. Vì là trung điểm của nên .
Ta có điểm nằm giữa hai điểm và nên 
Hay .
Bài 13. Trên tia lấy hai điểm và sao cho , .
a. Điểm có nằm giữa hai điểm và không? Vì sao? Tính đoạn thẳng .
b. Trên tia đối của tia , Lấy điểm sao cho . Gọi là trung điểm của đoạn . 
	Chứng minh là trung điểm của đoạn .
Lời giải
a. Trên tia có: nên điểm nằm giữa hai điểm và . 
Do đó: 
Hay .
b. Vì là trung điểm của nên .
Ta có điểm thuộc tia , thuộc tia nên ta có: nằm giữa hai điểm và .	
Do đó: 
Ta có nằm giữa hai điểm và 	; điểm nằm giữa hai điểm và nên nằm giữa hai điểm và .
Và 
Nên là trung điểm của đoạn .
Bài 14. Trên tia lấy hai điểm và sao cho và .
a. Điểm có nằm giữa hai điểm và không? Vì sao?
b. So sánh và .
c. Điểm có là trung điểm của không? Vì sao?
d. Vẽ tia là tia đối của tia , Trên lấy điểm sao cho là trung điểm của . Tính độ dài đoạn .
Lời giải 
a. Trên tia có: nên điểm nằm giữa hai điểm và . 
b. Do đó: Hay .
c. Ta có điểm nằm giữa hai điểm và ; nên là trung điểm của .
d. Trên lấy điểm : là trung điểm của nên .
Hay .
Bài 15. Vẽ đoạn thẳng vẽ điểm thuộc sao cho .
Lời giải
Bài 16. Xác định trung điểm của đoạn thẳng của đoạn thẳng 
Lời giải
Cách thực hiện:
Bước 1: Dùng thước đo độ dài đoạn 
Bước 2: Chia đôi đoạn thẳng : 
Bước 3: Đặt thước sao cho vạch cm trùng với điểm , đánh dấu điểm trên đoạn ứng với vạch cm. 
Suy ra: là trung điểm của đoạn thẳng .
Bài 17. Hãy nêu cách xác định trung điểm của cạnh dài của bản viết trên lớp. 
Lời giải
Cách 1. Xác định điểm nằm trên cạnh dài của bảng sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đầu mút của cạnh bằng nhau .
Cách 2. Xác định điểm nằm trên cạnh dài của bảng sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đầu mút cạch đó bằng chiều dài bảng.
Bài 18. Cho đoạn thẳng dài đơn vị. Gọi là trung điểm của đoạn thẳng và là trung điểm của đoạn thẳng . Tính độ dài đoạn thẳng 
Lời giải
Vì là trung điểm của đoạn thẳng nên ta có: .
Vì là trung điểm của đoạn thẳng nên ta có: 
Vậy .
Bài 19. Tính độ dài đoạn thẳng nếu trung điểm của nó nằm cắt mút một khoảng bằng cm.
Lời giải
Vì điểm là trung điểm của đoạn thẳng nên ta có: cm.
Vì điểm nằm giữa hai điểm và nên ta có: 
Bài 20.Tính độ dài của đoạn thẳng nếu trung điểm của nó nằm cách mút một khoảng 
Lời giải
Vì trung điểm của nằm cách mútmột khoảng cm nên ta có : .
Bài 21.Cho hai điểm phân biệt và cùng nằm trên tia sao cho , . Gọi là trung điểm của đoạn thẳng. Tính độ dài đoạn thẳng.
Lời giải 
TH 1: Điểm nằm cùng phía đối với điểm .
Vì nằm giữa và nên ta có: nên ta có : mà ; ; .
Vì là trung điểm của nên ta có : 
Vì nên nằm giữa và , ta có : mà ; ; .
TH 2 : Điểm nằm khác phía đối với điểm .
Vì nằm giữa nên ta có : mà ; nên 
Vì là trung điểm của nên ta có : 
Vì nên nằm giữa và ,ta có : ,
Bài 22. Cho hình vẽ bên : 
a. Nêu cách vẽ trung điểmcủa đoạn thẳng 
b. Nêu cách vẽ điểm sao cho là trung điểm của đoạn thẳng. Em có nhận xét gì về độ dài các đoạn thẳng, và.
Lời giải
a. Cách vẽ trung điểm: 
- Đo độ dài đoạn 
- Đặt mép thước trùng với đoạn sao cho vạch trùng với điểm , khi đó điểm trùng với vị trí bằng nửa độ dài. Đánh dấu điểm đó là . Khi đólà trung điểm của .
b.  - Kéo dài đường thẳng về phía 
 - Đo độ dài, Đặt thước trùng với đoạn sao cho vạch trùng với điểm , khi đó điểm nằm ở cùng phía với điểm và có độ dài bằng với,.
Nhận xét: 
Bài 23. Trên tia, vẽ hai điểm sao cho ,.
a. Điểm có nằm giữa hai điểm và không ?
b. So sánh và .
c. Điểmcó phải là trung điểm của đoạn không? Vì sao?
Lời giải 
a.Trên tia ta có : nên điểm nằm giữa hai điểm và 
b. Vì nằm giữa hai điểmvà nên ta có : 	
c. Điểmnằm giữa hai điểm và mà nênlà trung điểm của đoạn thẳng .
Bài 24. Cho đoạn thẳng . là điểm nằm giữa . Gọi lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng . Tính độ dài đoạn thẳng 
Lời giải
là trung điểm của : 
là trung điểm của : 
Mặt khác: nằm giữa và nên ta có 
Do đó: .
Bài 25. Cho đoạn thẳng dài , là điểm nằm giữa . Gọi là trung điểm của và là trung điểm của. Tính .
Lời giải
là trung điểm của nên 
là trung điểm của nên 
Vì nằm giữa điểm và nên 
Vì nằm giữa điểm và nên 
	.
Bài 26. Trên một đường thẳng lấy hai điểm sao cho rồi lấy điểm sao cho và nằm giữa . Vì sao điểm là trung điểm của đoạn ?
Lời giải
Vì nằm giữa nên . Thay; ta có:
cm
Suy ra 
Vậy nằm giữa và và nên là trung điểm của .
Bài 27.Trên tia lấy 2 điểm và sao cho ; 
a. Trong ba điểm điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao? 
b. Tính độ dài đoạn thẳng. 
c. Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Chứng tỏ rằnglà trung điểm của đoạn thẳng 
Lời giải 
a. Trên tia , có , . Vì nên điểm nằm giữa hai điểm và .
b. Vì nằm giữa hai điểm và nên ta có:
c. Ta có: 
Vì điểmnằm giữa hai điểmvà và nên là trung điểm của đoạn thẳng 
Dạng 5. Giải các bài toán thực tế có liên quan đến đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng và trung điểm của đoạn thẳng.
I.Phương pháp giải:
 Giải các bài toán thực tế có liên quan đến đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng và trung điểm của đoạn thẳng.
II. Bài toán 
Bài 1.Việt dùng thước đo độ dài đoạn thẳng .Vì thước bị gãy mất một mẩu nên Việt chỉ có thể đặt thước để điểmtrùng với vạchcm.khi đó điểm trùng với vạch . Em hãy giúp Việt tính độ dài đoạn thẳng 
Lời giải
Độ dài đoạn thẳng là: .
Bài 2.Bạn Nam dùng bước chân để đo chiều dài lớp học. Sau bước liên tiếp kể từ mép tường đầu lớp thì còn khoảng nửa bước chân nữa là đến mép tường cuối lớp .Nếu mỗi bước chân của Nam dài khoảng thì lớp học dài khoảng bao nhiêu?
Lời giải
Lớp học đó dài khoảng là: .
Bài 3.Một cái cây đang mọc thẳng thì bị bão làm gãy phần ngọn. Người ta đo được phần ngọn bị gãy dài và phần thân còn lại dài .Hỏi trước khi bị gãy, cây cao bao nhiêu mét ?
Lời giải
Trước khi bị gãy cây cao là: .
Bài 4. Giả sử có một cây gậy và muốn tìm điểm chính giữa của cây gậy đó .Em sẽ làm thế nào nếu:
a. Dùng thước đo độ dài.
b. Chỉ dùng một sợi dây đủ dài.
Lời giải
a. Dùng thước đo độ dài tìm điểm chính giữa của cây gậy ta làm như sau:
- Dùng thước đo độ dài của cây gậy .
- Lấy  kết quả đo đó chia đôi, ta được khoảng cách từ  trung điểm cây gậy đến các đầu mút của cây gậy.
- Dùng thước đo lại với khoảng cách vừa tìm được ta xác định được trung điểm của cây gậy.
b. Dùng sợi dây để tìm điểm chính giữa của cây gậy ta làm như sau :
- Ta đặt sợi dây sao cho thu được một đoạn bằng độ dài của cây gậy
- Ta gập đoạn sợi dây đó lại sao cho hai đầu sợi dây trùng nhau. Nếp gập cắt sợi dây thành hai phần bằng nhau.
Sau đó ta đặt sợi dây vừa gập lên cây gậy ta sẽ tìm được điểm chia cây gậy thành hai phần bằng nhau đó chính là trung điểm của cây gậy. 
Bài 5. Em cùng các bạn hãy ước lượng chiều dài, chiều rộng và bề dày của cuốn sách giáo khoa Toán 6 tập hai với đơn vị đo xăng-ti-mét và mi-li-mét, sau đó dùng thước kẻ để kiểm tra lại kết quả đó.
Lời giải
Ước lượng: Chiều dài: , chiều rộng , độ dày 
HS đo và kiểm tra lại ước lượng của mình.
Bài 6. Cho biết khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trời khoảng và khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trăng khoảng . Hỏi khi xảy ra hiện tượng nhật thực thì khoảng cách giữa Mặt Trời và Mặt Trăng là bao nhiêu ki-lô-mét?
Lời giải
Khi xảy ra hiện tượng nhật thực thì khoảng cách giữa Mặt Trời và Mặt Trăng là:
.
Bài 7. Một người muốn cắt thanh gỗ như hình dưới đây thành hai phần bằng nhau, mỗi phần dài cm. Em hãy cùng các bạn trao đổi với nhau cách cắt thanh gỗ.
Lời giải
Cách cắt thanh gỗ: Dùng thước đo từ điểm cm đặt ở đầu thanh gỗ đến điểm . Đánh dấu điểm đó và dùng dụng cụ cắt tại điểm vừa đánh dấu.
Bài 8.Nếu dùng một sợi dây để “chia” một thanh gỗ thành hai phần bằng nhau thì làm thế nào?
Lời giải
Dùng sợi dây để “ chia” một thanh gỗ thành hai phần bằng nhau ta làm như sau:
- Ta đặt sợi dây sao cho thu được một đoạn bằng độ dài của thanh gỗ
- Ta gập đoạn sợi dây đó lại sao cho hai đầu sợi dây trùng nhau. Nếp gập cắt sợi dây thành hai phần bằng nhau.
Sau đó ta đặt sợi dây vừa gập lên thanh gỗ ta sẽ tìm được điểm chia thanh gỗ thành hai phần bằng nhau.
Bài 9. Vòng quay mặt trong khu vui chơi đầm sen ở TPHCM có điểm cao nhất là m, điểm thấp nhất là m ( so với mặt đất). Hỏi trục của vòng quay nằm ở độ cao nào?
Lời giải
Vì trục của vòng quay được coi là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cao nhất và thấp nhất của trục quay nên ta có khoảng cách từ điểm thấp nhất đến trục quay là: .	
Trục quay đang nằm ở độ cao : .
Bài 10. Một chiếc xe chạy với vận tốc không đổi trên một quãng đường thẳng dài km từ vị trí đến vị trí hết giờ. Hỏi sau khi chạy được giờ, xe giời xa vị tríbao nhiêu km, còn cách vị tríbao nhiêu km?
Lời giải
Sau khi chạy được giờ ,xe rời xa vị trí: 
Cách vị trí B: .