Giáo án ôn tập Toán 8 (Cánh diều) - Chương 8, Bài 3: Đường trung bình của tam giác

ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC
Hình học phẳng
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
.
Mỗi tam giác có ba đường trung bình.
2. Tính chất
Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh ấy.
Theo hình bên,
 là đường trung bình của 
3. Định lý đường trung bình của tam giác
Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba của tam giác đó.
.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng
Dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác để tính độ dài đoạn thẳng.
Ví dụ 1. Tìm độ dài trong các hình sau
	a)	b)
Lời giải
a) Xét tam giác ABC, ta có
M là trung điểm của AB;
N là trung điểm của AC.
 là đường trung bình của .
.
b) Xét tam giác ABC, ta có
M là trung điểm của AB;
N là trung điểm của AC.
 là đường trung bình của .
.
Ví dụ 2. Cho tam giác vuông tại , , . Qua trung điểm của , vẽ một đường thẳng song song với cắt tại . Tính độ dài .
Lời giải
Xét có và nên . Do đó, là đường trung bình. Suy ra .
Vì vuông tại nên 
 .
Vậy .
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau; hai đường thẳng song song.
Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác.
Sử dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, hai đoạn thẳng bằng nhau như đã học ở lớp 7.
Ví dụ 3. Cho tam giác , các đường trung tuyến , . Gọi , theo thứ tự là trung điểm của và . Gọi , theo thứ tự là giao điểm của với và . Chứng minh .
Lời giải
Xét có .
Xét có .
Suy ra ; ; .
.
Vậy .
Ví dụ 4. Cho tam giác , điểm , thuộc sao cho . Gọi là trung điểm của , là giao điểm của và . Chứng minh :
a) ;	b) .
Lời giải
a) Xét có .
b) Xét có .
Ví dụ 5. Cho tam giác , các đường trung tuyến , cắt nhau tại . Gọi , lần lượt là trung điểm , . Chứng minh tứ giác có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
Lời giải
 Xét có 
 Xét có 
 Từ và .
 Xét có 
 Xét có 
 Từ và .
 Vậy tứ giác có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
Ví dụ 6. Cho là đường trung tuyến của tam giác , là trung điểm của đoạn thẳng , là trung điểm đoạn thẳng , là trung điểm cạnh , là trung điểm cạnh . Chứng minh và .
Lời giải
Xét có .
Xét có .
Từ và 
Dạng 3: Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác để chứng minh tứ giác hình thoi; hình bình hành; hình chữ nhật; hình vuông.
Vận dụng định nghĩa, tính chất và định lý đường trung bình của tam giác để chứng minh bài toán liên quan.
Ví dụ 5. Cho tứ giác . Gọi , , , lần lượt là trung điểm của các cạnh , , , . Chứng minh tứ giác là hình bình hành.
Lời giải
Xét tam giác có là đường trung bình
Xét tam giác có là đường trung bình
Từ và suy ra 
 Tứ giác là hình bình hành.
Ví dụ 6. Cho tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi , , , theo thứ tự là trung điểm của các cạnh , , , . Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật.
Lời giải
Xét có EH là đường trung bình.
 và . (1)
Xét có là đường trung bình.
 và . (2)
Từ (1) và (2) là hình bình hành.(3)
Xét có là đường trung bình.
 . 
Mà và 
 . (4)
Từ (3) và (4) là hình chữ nhật.
Ví dụ 7. Cho tứ giác có , gọi , , , lần lượt là trung điểm các cạnh , , , . Chứng minh rằng là hình thoi.
Lời giải
 có là đường trung bình nên .
Hoàn toàn tương tự, xét các tam giác , , , ta được
Lại có nên .
Do đó là hình thoi.
Ví dụ 8. Cho tam giác vuông cân tại . Gọi , là trung điểm , . Qua kẻ đường thẳng song song và cắt tại . Chứng minh rằng là hình vuông.
Lời giải	
Ta có là trung điểm của , là đường trung bình của là trung điểm của .
Mà là trung điểm của là đường trung bình của là hình bình hành.
Mà là hình chữ nhật. Mà là hình vuông.
Dạng 4: Bài toán thực tế liên quan đường trung bình tam giác.
Vận dụng định nghĩa, tính chất và định lý đường trung bình giải quyêt bài toán liên quan.
Ví dụ 9. 
Khi thiết kế một cái thang gấp, để đảm bảo an toàn người thợ đã làm thêm một thanh ngang để giữ cố định ở chính giữa hai bên thang (như hình vẽ bên) sao cho hai chân thang rộng một khoảng là 80 cm. Hỏi người thợ đã làm thanh ngang đó dài bao nhiêu cm ? 
Lời giải
Gọi MN là thanh ngang ; BC là độ rộng giữa hai bên thang.
MN nằm chính giữa thang nên M; N là trung điểm AB và AC.
Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra MN = .
Vậy người thợ đã làm thanh ngang đó dài 40 cm. 
Ví dụ 10. 
Giữa hai điểm và bị ngăn cách bởi hồ nước (như hình dưới). Hãy xác định độ dài mà không cần phải bơi qua hồ. Biết rằng đoạn thẳng dài và là trung điểm của , là trung điểm của .
Lời giải
 Xét tam giác ABC, có:
 K là trung điểm AB
 I là trung điểm AC
KI là đường trung bình của tam giác ABC
Hay 
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác , là trung điểm , là một điểm nằm trên cạnh sao cho . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh là trung điểm của .
Lời giải
Gọi là trung điểm và là trung điểm .
 là đường trung bình của là trung điểm của .
Bài 2. Cho tam giác , trung tuyến . Gọi là trung điểm , là giao điểm của và .
a) Chứng minh ;	b) So sánh độ dài và .
Lời giải
a) Kẻ , .
 là đường trung bình trong 
 là trung điểm của .
 là đường trung bình trong 
 là trung điểm của .
Từ và suy ra .
Có ; , nên .
Bài 3: Cho tam giác , đường trung tuyến . Gọi là một điểm trên cạnh sao cho . Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng
a) là trung điểm của .	b) .
Lời giải
a) Qua vẽ một đường thẳng song song với cắt tại .
Xét có và nên
 (định lý đường trung bình của tam giác).
Mặt khác , do đó .
Xét có và nên hay O là trung điểm của AD.
b) Xét có là đường trung bình nên .	(1)
Xét có là đường trung bình nên .	(2)
Từ (1) và (2) suy ra .
Bài 4. Cho tam giác , hai đường trung tuyến và cắt nhau tại . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh rằng
a) . 	b) .
Lời giải
a) Vì , là các đường trung tuyến của nên , .
Do đó là đường trung bình của , suy ra . 	(1)
Ta có là đường trung bình của nên . 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra .
b) Xét , ta có là đường trung bình.
Xét , ta có là đường trung bình. Do đó , . Suy ra .
Bài 5. Cho tam giác , đường trung tuyến . Gọi , , lần lượt là trung điểm của , và . Chứng minh rằng
a) Ba điểm , , thẳng hàng.	b) là trung điểm của .
Lời giải
a) Xét có là đường trung bình nên hay . 	(1)
Xét có là đường trung bình nên , 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra , , thẳng hàng.
b) Chứng minh (bằng của hai đoạn thẳng bằng nhau).
Bài 6. Cho tam giác vuông tại , đường cao . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh rằng .
Lời giải
Xét có là đường trung bình nên .
Xét có và là hai đường cao cắt nhau tại .
Do đó 
Bài 7. Cho hình chữ nhật . Gọi , , , lần lượt là trung điểm của , , , . Chứng minh:
a) là hình thoi.	b) , , , đồng quy.
Lời giải
a) có là đường trung bình nên và .
 có là đường trung bình nên và .
Suy ra và . Do đó là hình bình hành.
Hơn nữa, có là đường trung bình nên .
Mà (hình chữ nhật ) nên , suy ra là hình thoi.
b) Vì là hình chữ nhật nên và .
Do đó tứ giác là hình bình hành.
Mà là trung điểm của đường chéo (trong hình chữ nhật ).
Nên cũng là trung điểm của đường chéo .
Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được là hình bình hành.
Và suy ra cũng là trung điểm của đường chéo .
Vậy , , , đồng quy tại .
Bài 8.
Để làm cây thông noel, người thợ sẽ dùng một cái khung sắt hình tam giác cân như hình vẽ bên, sau đó gắn mô hình cây thông lên. Cho biết thanh BC = 120cm. Tính độ dài các thanh GF; HE; ID. 
Bài 9. Để thiết kế mặt tiền cho căn nhà cấp bốn mái thái, sau khi xác định chiều dài mái PQ = 1,5m. Chú thợ nhẩm tính chiều dài mái DE biết Q là trung điểm EC, P là trung điểm của DC. Em hãy tính giúp chú thợ xem chiều dài mái DE bằng bao nhiêu (xem hình vẽ minh họa) ?
Lời giải
Vì Q là trung điểm EC, P là trung điểm của DC nên PQ là đường trung bình của tam giác CDE
Vậy chiều dài mái DE bằng 3m
Bài 10. 
a/ Giữa 2 điểm A và B là một hồ nước. Biết A, B lần lượt là trung điểm của MC và MD (như hình vẽ). Bạn Mai đi từ C đến D hết 120 bước chân, trung bình mỗi bước chân của Mai đi được 4dm. 
Hỏi khoảng cách từ A đến B là bao nhiêu mét? 
Lời giải
AB là đường trung bình của ΔMCD
AB = CD = > AB = 60 (bước chân)
Khoảng cách từ A đến B là: 60 . 4 = 240 ( dm) = 24m.
b/ Để đo khoảng cách hai điểm B và C bị chắn bởi 1 cái hồ sâu, người ta thực hiện đo như hình 1. Biết khoảng cách giữa hai điểm D và E đo được là 53m. Hỏi B và C cách nhau bao nhiêu m ?
Hình 1
Hình 2
c/ Để đo khoảng cách giữa hai điểm A và B bị ngăn cách bởi một hồ nước người ta đóng các cọc tại các vị trí A, B, M, N, O như hình 2 và đo được . Tính khoảng cách AB biết M, N lần lượt là điểm chính giữa OA và OB.
Bài 11.
Toán thực tế đường trung bình: Nhà tâm lý học Abraham Maslow (1908 – 1970) được xem như một trong những người tiên phong trong trường phái Tâm lý học nhân văn. Năm 1943, ông đã phát triển Lý thuyết về Thang bậc nhu cầu của con người (như hình vẽ bên). Trong đó, BK = 6cm. Hãy tính đoạn thẳng CJ; EH?
Bài 12.
Để đo khoảng cách giữa hai điểm và bị ngăn cách bởi một hồ nước người ta đóng các cọc ở vị trí như hình vẽ. Người ta đo được . Tính khoảng cách giữa hai điểm và . 
Lời giải
* C/m: là đường trung bình 
* 
Bài 13. Một cáp treo di chuyển giữa hai địa điểm A và B của một hồ nước (hình bên). Biết M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB và MN = 85m. Hỏi quãng đường di chuyển của cáp treo từ A sang B dài bao nhiêu mét? 
Lời giải
Vì M, N lần lượt là trung điểm của OA và OB.
Nên MN là đường trung bình của tam giác OAB
Suya ra AB = 2. MN = 2. 85 = 170m
Bài 14. Giữa 2 điểm A và N là một một hồ nước sâu. Để tính khoảng cách giữa 2 điểm A và N, một học sinh đã lấy M làm mốc và lấy H, G lần lượt là trung điểm của MA, MN. 
a)Chứng minh HG là đường trung bình.
b)Hỏi A và N cách nhau bao nhiêu mét. Biết khoảng cách giữa 2 điểm H và G là 62m. 
Lời giải
Xét AMN ta có:
H là trung điểm AM(gt)
G là trung điểm MN(gt) 
HG là đường trung bình AMN 
Vậy AN=124m 
Bài 15. Người ta xây dựng mô hình như hình dưới để đo bề rộng MN của một cái hồ nước mà không cần phải đo trực tiếp. Em hãy tính xem độ rộng của hồ nước trong hình vẽ là bao nhiêu?
Lời giải
Xét DAMN, Ta có: 
 B là trung điểm của AM 
 C là trung điểm của AN 
Þ BC là đường trung bình của DAMN
Vậy độ rộng của hồ nước là 80 (m)