Giáo án ôn tập Toán 8 (Cánh diều) - Chương 8, Bài 1: Định lí Thales trong tam giác

ĐỊNH LÍ THALES TRONG TAM GIÁC.
Hình học phẳng
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM.
1.Đoạn thẳng tỉ lệ.
Hai đoạn thẳng AB và CD được gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng và nếu có tỉ lệ thức
.
2. Định lí Thales .
Định lí: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ta trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
Trong hình vẽ, nếu MN // BC thì .
Do đó . Suy ra ;
Định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
Trong hình vẽ, nếu có một trong hai tỉ lệ thức :
 thì ta cũng có MN // BC;
4. Hệ quả của định lí Thales đảo
Hệ quả: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
Cho tam giác ABC, đường thẳng d song song với cạnh BC lần lượt cắt các cạnh AB; AC tại M và N. Khi đó , ta có :
; 
Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng d song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Viết tỉ số các cặp đoạn thẳng hoặc tính tỉ số của hai đoạn thẳng
Sử dụng định nghĩa đoạn thẳng tỉ lệ.
Ví dụ 1. 
Đoạn thẳng gấp lần đoạn thẳng , đoạn thẳng gấp lần đoạn thẳng . 
a) Tính tỉ số của hai đoạn thẳng và . 	ĐS: .
b) Cho biết đoạn thẳng cm và cm; hỏi hai đoạn thẳng và có tỉ lệ với đoạn thẳng và không? 	 ĐS: Có tỉ lệ.
Lời giải
a) .
b) . Vậy hai đoạn thẳng và tỉ lệ với đoạn thẳng và .
Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng hoặc chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ
Bước 1: Xác định các cặp đoạn thẳng tỉ lệ có được nhờ định lí Ta-lét.
Bước 2: Sử đụng độ dài các đoạn thẳng đã có và vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức để tìm độ dài đoạn thẳng.
Ví dụ 2. Tính trong các trường hợp sau.
a) 	b) 	c) 
ĐS: .	ĐS: .	ĐS: .
Lời giải
a)
 .
b) 
 .
c)
 .
Ví dụ 2. Cho hình thang có và . Đường thẳng song song với đáy cắt các cạnh bên , theo thứ tự tại , . Chứng minh
a) ;	b) ;	c) .
Lời giải
Gọi giao điểm của và là . 
a) Vì nên và nên . 
Từ điều trên suy ra . 
b) Theo ý a) ta có nên theo tính chất của tỉ lệ thức suy ra . Vậy .
c) Theo ý b) ta có nên theo tính chất của tỉ lệ thức suy ra
.
Vậy .
Dạng 3: Sử dụng hệ quả của định lý Ta-lét để tính độ dài đoạn thẳng
Bước 1: Xác định các cặp đoạn thẳng tỉ lệ nhờ hệ quả của định lý Ta-lét.
Bước 2: Sử dụng độ dài các đoạn thẳng đã có và vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức để tìm độ dài đoạn thẳng cần tìm.
Ví dụ 3. Tính trong các trường hợp sau
a) 	b) 
Lời giải
a) (đvđd).
b)
Ví dụ 4. Cho tam giác vuông tại , , cm, cm, cm. Tính độ dài của các đoạn thẳng và .
Lời giải
Theo định lí Ta-lét thì . 
,
 cm.
Lại có tam giác vuông tại . Tính được 
Dạng 4: Sử dụng định lý Ta-lét đảo để chứng minh các đường thẳng song song
Bước 1: Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ trong tam giác.
Bước 2: Sử dụng định lý đảo của định lý Ta-lét để chứng minh các đoạn thẳng song song.
Ví dụ 5. Cho hình thang . Gọi trung điểm của các đường chéo và lần lượt là . Chứng minh rằng , và song song với nhau.
Lời giải
Gọi giao điểm của hai đường chéo là . Vì nên 
.
Suy ra .
Từ và . 
Suy ra .
Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có hay .
Áp dụng định lý Ta-lét đảo suy ra mà (do là hình thang) nên .
Dạng 5: Sử dụng hệ quả của định lý Ta-lét để chứng minh hệ thức, các đoạn thẳng bằng nhau
Bước 1: Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, sử dụng hệ quả để lập các đoạn thẳng tỉ lệ.
Bước 2: Sử dụng các tỉ số đã có, cùng với các tính chất của tỉ lệ thức, các tỉ số trung gian (nếu cần) để tính độ dài các đoạn thẳng hoặc chứng minh các hệ thức có được từ hệ quả, từ đó suy ra các đoạn thẳng bằng nhau.
Ví dụ 6. Cho tam giác có cm. Trên đường cao lấy các điểm sao cho . Qua vẽ các đường thẳng .
a) Tính độ dài các đoạn thẳng và .
b) Tính diện tích tứ giác , biết rằng diện tích của tam giác là cm.
Lời giải
a) Ta có .
Suy ra (cm).
Ta có .
Suy ra (cm).
b) Vì nên .
Suy ra nên . 
Suy ra 
Ví dụ 7. Cho hình thang . Đường thẳng song song với đáy cắt các cạnh bên và các đường chéo lần lượt tại . Chứng minh
a) .	b) .
Lời giải
a) Ta có .
b) Ta có .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho biết độ dài của gấp lần độ dài của và độ dài đoạn thẳng gấp lần độ dài của .
a) Tính tỉ số của hai đoạn thẳng và . 	ĐS: .
b) Cho biết đoạn thẳng cm và dm, hỏi hai đoạn thẳng và có tỉ lệ với đoạn thẳng và không? 	ĐS: Không tỉ lệ.
Lời giải
a) .
b) . 
Vậy hai đoạn thẳng và không tỉ lệ với đoạn thẳng và . 
Bài 2. Tính trong các trường hợp sau.
a) 	b) 
ĐS: .	ĐS: .
Lời giải
a)
 .
b) 
 .
Bài 3. Cho góc khác góc bẹt. Trên tia lấy các điểm , . Qua và vẽ hai đường thẳng song song, cắt lần lượt tại và . Qua vẽ đường thẳng song song với cắt tia tại .
a) So sánh và ; và .	ĐS: ; .
b) Chứng minh .
Lời giải
a) Theo định lí Ta-lét ta có ; .
b) Từ a) ta có suy ra .
Bài 4. Tính trong các trường hợp sau.
a) 	b) 
ĐS: .	ĐS: .
Lời giải
a) .
b) .
Bài 5. Cho tam giác , đường thẳng cắt , lần lượt tại , sao cho . Chứng minh
a) ;	b) .
Lời giải
Từ suy ra (theo định lí Ta-lét đảo).
a) Vì nên theo định lí Ta-lét ta có ;
b) Vì nên theo định lí Ta-lét ta có .
Bài 6: Cho góc . Trên tia , lấy theo thứ tự điểm sao cho Trên tia , lấy điểm với . Từ , kẻ đường thẳng song song với cắt tại . Tính độ dài .
Lời giải
Xét có: (gt) 
 (định lí Ta-let trong tam giác)
Bài 7: Tìm x trong hình
Biết 
Hình 1
Hình 2
Hình 3
Lời giải
Hình 1. Trong tam giác ABC, ta có: ( hệ quả của định lí Ta-let)
Hình 2. Ta có: Suy ra .
Trong suy ra: ( hệ quả của định lí Ta-let)
Hình 3.Áp dụng định lí Pytago trong ta có:
Trong suy ra: ( hệ quả của định lí Ta-let)
; 
Trong suy ra: ( hệ quả của định lí Ta-let)
Bài 8. Cho tam giác có cạnh . Trên cạnh lấy điểm và sao cho . Từ kẻ các đường thẳng song song với cắt theo thứ tự tại . Tính theo độ dài các đoạn thẳng và .
Lời giải
Áp dụng định lý Ta-lét ta có .
Tương tự ta có .
Bài 9. Cho hình thang cân có hai đường chéo và cắt nhau tại . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Biết rằng , đáy lớn cm.
a) Tính độ dài đoạn thẳng .	b) Chứng minh .
Lời giải
a) Vì nên .
Suy ra nên .
Vậy .
b) Vì nên 
 suy ra .
Vậy . 
Bài 10. Cho hình thang cân . Đường thẳng song song với đáy cắt các cạnh bên và các đường chéo lần lượt tại . Chứng minh
a) .	b) .
Lời giải
a) Ta có .
b) Ta có suy ra .
Bài 11. Tam giác , đường cao . Đường thẳng song song với , cắt các cạnh , và đường cao theo thứ tự tại các điểm , , . Chứng minh
a) ;	b) .
Lời giải
a) .
b) .
Bài 12. Tính trong các trường hợp sau
a) 	b) 
Lời giải
a) (đvđd).
b) (đvđd).
Bài 13. Cho tam giác , cm, cm, cm, cm. Tính độ dài của các đoạn thẳng và .
Lời giải
Theo định lí Ta-lét thì . Suy ra 
 cm. 
 cm.
Bài 14. Cho tam giác có điểm trên cạnh sao cho . Trên cạnh lấy điểm sao cho . Chứng minh song song với .
Lời giải
Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có
.
Mặt khác .
Suy ra . Vậy .
Bài 15. Cho tam giác , đường cao . Đường thẳng song song với , cắt các cạnh và đường cao theo thứ tự tại các điểm .
a) Chứng minh .
b) Cho và diện tích tam giác là cm. Tính diện tích tam giác .
Lời giải
a) Ta có .
b) Vì nên .
Suy ra
.
Bài 16. Cho hình thang với có hai đường chéo , cắt nhau tại và đường thẳng qua song song với đáy cắt các cạnh bên tại và theo thứ tự tại và . Chứng minh .
Lời giải
Xét có nên
theo định lí Ta-lét ta có . 	(1)
Xét có nên theo định lí Ta-lét ta có
 .	(2) 
Xét có nên theo định lí Ta-lét ta có .	(3) 
Từ , , suy ra .
Suy ra .