Giáo án ôn tập Toán 8 (Cánh diều) - Chương 5, Bài 6: Hình thoi

HÌNH THOI
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi
.
Nhận xét: hình thoi là một hình bình hành đặc biệc.
2. Tính chất
Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.
Trong hình thoi:
Hai đường chéo vuông góc với nhau.
Mỗi đường chéo là đường phân giác của các góc ở đỉnh của hình thoi mà nó đi qua.
3. Dấu hiệu nhận biết
Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.
Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.
Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc ở đỉnh mà nó đi qua là hình thoi.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Chứng minh tứ giác là hình thoi
Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình thoi.
Ví dụ 1. Cho góc xOy và tia phân giác Ot. Từ điểm M thuộc Oz kẻ MA // Oy và MB // Ox ( với ). Chứng minh tứ giác OAMB là hình thoi.
Chứng minh:
Ta có MA // Oy suy ra MA // OB (1)
 MB // Ox suy ra MB // OA (2)
Từ (1) và (2) suy ra OAMB là hình bình hành . (*)
Mà OM là phân giác của góc AOB (**)
Từ (*);(**) suy ra OAMB là hình thoi .
(theo dấu hiệu nhận biết hình thoi).
Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD có 2 đường cao AH = AK . Chứng minh ABCD là hình thoi.
Chứng minh:
Xét hai tam giác vuông AHB và AKD ta có :
AK = AH (gt).
D = B (ABCD là hình bình hành).
 ABCD là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi ).
Dạng 2: Vận dụng tính chất của hình thoi để chứng minh các tính chất khác
Vận dụng các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình thoi.
Ví dụ 3. Cho hình thoi có . Kẻ , . Chứng minh
a) ;	b) Tam giác đều.
Lời giải
a) Vì là phân giác của (do là hình thoi)
nên cách đều hai cạnh và .
Hay . 
b) Hình thoi có và nên đều.
Do đó đường cao cũng là đường phân giác, suy ra .
Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được .
Suy ra , vậy đều.
Dạng 3: Tính độ dài cạnh, góc, diện tích hình thoi.
Vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết bài toán liên quan.
Ví dụ 4. 
Hai đường chéo của hình thoi có độ dài 16cm và 12cm. Tính :
a/ Diện tích hình thoi b/ Cạnh hình thoi c/ Độ dài đường cao hình thoi.
Lời giải	
a/ AC = 16cm; BD = 12cm.
b/ OA = 8cm; OD = 6cm.
Áp dụng định lý Py ta go vào tam giác vuông OAD, ta có :	
c/ Kẻ đường cao DH. Ta cũng có :
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác , phân giác . Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại , qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại . Chứng minh là phân giác của .
Lời giải
Tứ giác có và 
nên là hình bình hành.
Mặc khác đường chéo là phân giác của 
nên là hình thoi.
Do đó đường chéo là phân giác của .
Bài 2. 
a) Cạnh của một hình thoi bằng , một đường chéo bằng . Tính độ dài đường chéo còn lại.
b) Cho hình thoi như hình vẽ bên. Tính .
Lời giải
a) Hình thoi có và .
Áp dụng các tính chất của hình thoi, ta có
Suy ra .
b) Vì là hình thoi và nên .
Hơn nữa, là phân giác của (hình thoi ). Do đó .
Bài 3. Cho hình bình hành có vuông góc với . Gọi , theo thứ tự là trung điểm của các cạnh , . Chứng minh tứ giác là hình thoi.
Lời giải
Hình bình hành có và .
Suy ra .
 vuông tại có là đường trung tuyến,
nên .
 vuông tại có là đường trung tuyến,
nên .
Lại có (do là hình bình hành),
Vậỵ , hay là hình thoi.
Bài 4. Cho hình thoi tâm . Độ dài cm, cm. Tính độ dài cạnh hình thoi. 
Lời giải
Theo tính chất của hình thoi:
Và vuông tại nên áp dụng Định lí Pytago ta có
Bài 5. Cho hình thoi , gọi là giao điểm của hai đường chéo. Trên cạnh , , , lấy theo thứ tự các điểm , , , sao cho . Chứng minh:
a) , , thẳng hàng và , , thẳng hàng;
b) Tứ giác là hình chữ nhật.
Lời giải
a) Tứ giác có và (hình thoi ) nên là hình bình hành.
Mà là trung điểm (hình thoi ) nên là trung điểm .
Tứ giác có và (hình thoi ) nên là hình bình hành.
Mà là trung điểm (vì hình thoi ) nên là trung điểm .
Vậy , , thẳng hàng và , , thẳng hàng.
b) Tứ giác có cắt tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.
Hình thoi có là phân giác của và , suy ra và .
Do đó hay , hay là hình chữ nhật.
Bài 6. Cho tam giác , qua điểm thuộc cạnh , kẻ các đường thẳng song song với và , cắt và theo lần lượt ở và .
a) Tứ giác là hình gì?
b) Điểm ở vị trí nào trên thì là hình thoi.
Lời giải
a) Tứ giác có và nên là hình bình hành.
b) Để hình bình hành là hình thoi thì là phân giác của góc .
	a)	b)
--- HẾT ---